初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用巩固练习

专题1.3勾股定理的应用

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·云南省个旧市第二中学初二期中）如图，已知正方形A的面积为25，正方形C的面积为169，那么正方形B的面积是（   ）

A．144 B．169 C．25 D．194

【答案】A

【解析】解：根据题意知正方形的C面积为169，正方形A的面积为25，

则字母B所代表的正方形的面积=169-25=144．

故选：A．

2．（2020·山东初二期中）一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（　　）

A．0m    B．1m    C．2m    D．3m

【答案】B

【解析】在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=5 m,BC=3 m.

 由勾股定理,得AB2=AC2+BC2.

 ∴AC2=AB2-BC2=52-32=42.

∴AC=4.

 在Rt△A'CB'中,∠C=90°,A'C=AC-AA'=4-1=3,A'B'=5.

 由勾股定理,得A'B'2=A'C2+B'C2.

∴B'C2=A'B'2-A'C2=52-32=42.

∴B'C=4.

 ∴BB'=B'C-BC=4-3=1(m).

故选B.

3．（2019·重庆南开中学初二期中）一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ）

A．20厘米 B．18厘米 C．22厘米 D．24厘米

【答案】A

【解析】解：这根木棒最长为：厘米，

故选：A．

4．（2020·曲阜师范大学附属实验学校初二期末）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

【答案】B

【解析】如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，

∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，

在Rt△AEC中，（米）．故选B．

5．（2018·平塘县第三中学初二期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现绳子刚好拉直并且下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解析】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得x=12，
∴AB=12．
∴旗杆的高12m．
故选：C．

6．（2019·贵州初二月考）如图，一扇高为，宽为的门框，童师傅有块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽．不能从 这扇门通过的木板是（    ）号．

A．① B．② C．③ D．①②③

【答案】B

【解析】解：因为=2.5，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米，
所以①③号木板可以通过，②号木板不能通过.
故选B．

7．（2020·河南初二期末）如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（    ）

A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm

【答案】C

【解析】

当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB= =13cm，
故h=24-13=11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选C．

8．（2020·枣阳市吴店镇清潭第一中学初二期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（    ）处．

A．5m B．7m C．7.5m D．8m

【答案】D

【解析】设树顶端落在离树底部xm，由题意得：

62+x2=（16-6）2，

解得：x1=8，x2=-8（不符合题意，舍去）．

所以，树顶端落在离树底部8m处．

故选：D．

9．（2020·新疆八十七中初二期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(   )

A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米

【答案】A

【解析】

如图，在Rt△ACB中，

∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，

∴

在Rt△A‘BD中，

∵∠A’BD=90°，A’D=2米，

∴

∴

∵BD>0，

∴BD=1.5米，

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米

即小巷的宽度为2.2米，故答案选A

10．（2019·安徽初二期中）小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为(      )

A．2.7 米 B．2.5 米 C．2.1 米 D．1.5 米

【答案】C

【解析】梯脚与墙脚距离：2.1（米）．

故选C．

11．（2020·北京师范大学第二附属中学西城实验学校初二月考）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（      ）

A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米

【答案】B

【解析】解：梯脚与墙角距离：＝0.7（米）．

故梯脚应向前移动1.5-0.7=0.8（米）

故选B．

12．（2019·古浪县泗水初级中学初二期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距(　　)

A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里

【答案】C

【解析】连接BC，

由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），

CB==40（海里），

故选C．

13．（2020·阳新县陶港镇陶港中学初三月考）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（　　）

A．3m B．5m C．7m D．9m

【答案】A

【解析】解：连接OA，交⊙O于E点，

在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，

所以OA==10；

又OE=OB=6，

所以AE=OA-OE=4．

因此选用的绳子应该不大于4，

故选A．

14．（2019·重庆八中初二月考）如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　)

A．12 cm

B．11 cm

C．10 cm

D．9 cm

【答案】C

【解析】解：将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==10（cm）.

故选C.

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2019·湖北初二期末）我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺．    

【答案】4.55

【解析】解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故答案为：4.55．

16．（2020·北京初三二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”

译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”

如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_____________．

【答案】

【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20-x）尺，
根据勾股定理得：．
故答案为：．

17．（2020·涡阳县王元中学初二月考）如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是_____m．

【答案】13

【解析】设BC=x，则OC=25-x，依题意知BC=AC=x,

在Rt△OBC中 =

即=,解得x=13,

∴BC=13.

18．（2019·陕西西北工业大学附属中学初一期末）为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．

【答案】180

【解析】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，

在Rt△ABC中，

∵AB=36，BC==27cm，

∴AC2=AB2+BC2=362+272，

∴AC=45cm，

∴应裁剪油纸的最短=45×4=180(cm)．

故答案为：180．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2020·湖北初二期中）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？

【答案】发生火灾的住户窗口距离地面14米

【解析】由题意，AB=15，AC=DE=9，CD=AE=2，BD⊥AC，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：

，

∴BD=BC+CD=14（米），

答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．

20．（2020·甘肃初二期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．

【答案】AD=3．

【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=．

由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，

∴BE=AB-AE=10-6=4．

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2=BD2，即CD2＋42=(8-CD)2，

解得CD=3．

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2=AD2，

∴AD=．

21．（2020·莆田青璜中学初二月考）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

【答案】E点应建在距A站10千米处．

【解析】解：设AE＝xkm，

∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，

由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．

故：E点应建在距A站10千米处．

22．（2019·宜昌市第五中学初二期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．

【答案】19米

【解析】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，

由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，

故BD＝＝5（m），

即AD＝9m，

则

故AC+AB＝15+4＝19（m），

答：树原来的高度19米．

23．（2019·重庆初二期中）如图，将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图所示，

（1）求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．彩旗完全展平时的尺寸如图的长方形（单位：cm）

（2）商店彩旗的标价为每面40元，旗杆的标价为每根20元，学校计划购买彩旗60面，旗杆50根，由于数量较多商店决定给予学校优惠，其中彩旗每面优惠10%，旗杆每根优惠a%，这样，学校彩旗又多购买了2a%，旗杆的数量不变，这样总共花费3542元，求a的值．

【答案】（1）70cm；（2）10

【解析】（1）由题意可得，彩旗面是矩形，长为200cm，宽为150cm，

则彩旗的对角线长为250cm，

故h＝320−250＝70，

即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是70cm；

（2）由题意可得，

40×（1−10%）×60（1＋2a%）＋20×（1−a%）×50＝3542，

解得，a＝10，

即a的值是10．

24．（2019·韩城市新城区第五初级中学初二期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另-停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且

求修建的公路的长；

若公路修通后，辆货车从处经过点到处的路程是多少?

【答案】（1）修建的公路的长是12千米；（2）货车从处经过点到处的路程是28千米.

【解析】解：（1）根据题意，AC=15，BC=20，AB=25，

∴，

∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，

∴，

∴，

∴（km）；

（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：

，

∴货车从处经过点到处的路程是：

（km）.

25．（2019·河南初二期中）方格中单位长度为1的小正方形的顶点叫格点，点和点是格点，位置如图：

（1）线段的长是______________；

（2）在图1中确定格点，使为直角三角形，画出一个这样的；

（3）在图2中确定格点，使为等腰三角形，画出一个这样的；

（4）在图2中满足题（3）条件的格点共有___________个．

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析；（4）4.

【解析】解：（1）由图可知，点A，B的横向距离差为4，纵向距离差为3，由勾股定理可知；

AB=；

（2）（3）如图所示：

（4）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．如图所示

26．（2019·河南初二期中）如图，海上救援船要从距离海岸8海里的点位置到海岸的处携带救援设备，然后到距离海岸16海里处的点处对故障船实施救援．已知间的距离为18海里，为使救援船尽快赶到故障船实施救援，救援设备被放置在恰当位置．

（1）试在图中确定点的位置；

（2）若救援船的速度是20节（1节=1海里/小时），求这艘救援船最快多长时间到达故障船？

【答案】（1）见解析；（2）1.5

【解析】

解：（1）

延长AB至E，使BE=AB，连接EC交BD于M，连接AM，则点M即为所求.

（2）依题意有AB=8，CD=16，BD=18，

根据（1）的作图可知，点A，E关于直线BD对称，

∴AB=BE=8，AM=EM，

过点E作EFBD，交CD的延长线与F，

∵四边形BEFD为矩形，

∴EF=BD=18，AB=BE=DF=8，

∴CF=CD+DF=16+8=24，

在ECF中，，

 ∴AM+MC=EM+MC=EC=30，

又∵救援船的速度是20节，即为20×1=20（海里/小时），

∵（小时）.

∴这艘救援船最快到达故障船的时间为1.5小时.