数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试课后练习题

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第一章 勾股定理测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·重庆市育才中学初二期末）△ABC三边长分别为a、b、c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝13
【答案】B
【解析】A．∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形；
B．∵52+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
C．∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形；
D．∵122+42＝132，∴△ABC是直角三角形；
故选：B．
2．（2020·山西初二期中）我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（ ）
A．分类思想 B．方程思想 C．转化 D．数形结合
【答案】D
【解析】
解：就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是数形结合思想，故选D ．
3．（2020·盐池县第五中学初二期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．25
【答案】A
【解析】解：利用勾股定理可得：，
故选A．
4．（2020·福建初二期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵在中，，，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
5．（2020·四川初二期中）五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，
故选C．
6．（2020·齐齐哈尔市第五十三中学校初二月考）如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图所示：记BC上的高为AE，


∵AE=4，AC=
BC=4 ，
即
解得：
故选：A．
7．（2020·福建初一期末）在平面直角坐标系中，，，其中，则下列对长度判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】解：∵在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2-b，4-b），a+b=2，
∴AB==，
故选：C．
8．（2020·广西初三一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
．
故选：．
9．（2020·浙江初三其他）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（ ）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【解析】解：由题意可得,
当AB，CD为直角边时，有, ,
此时F如图:

当EF，CD为直角边时，有, ,
此时F如图:

所以综上点F的位置有4处.
故选：D.
10．（2020·河北省临西县第一中学初二期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C到AB的距离为h，即可得h×AB=AC×BC，即h×5=×3×4，解得h= ，故选D.
11．（2020·河北初二期末）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作出每一个三角形长度为8的边上的高，根据垂线段最短可得选项A、B、D中，长度为8的边上的高都小于6；选项C中，因，这个三角形为直角三角形，所以长度为8的边上的高为6，因此在这4个选项中，底都为8时，选项C的高最大，所以选项C的面积最大，故选C.

12．（2020·常德市淮阳中学初二期中）已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　)

A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
【答案】A
【解析】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=(9﹣AE)2．
解得：AE=4cm．
∴△ABE的面积为：×3×4=6(cm2)．
故选：A．
13．（2020·安徽芜湖一中初三）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则（　　）

A．S1＝S2 B．S1＝S3 C．S2＝S3 D．S1＝S2+S3
【答案】A
【解析】Rt△ABC中，
∵AB2+AC2＝BC2
∴S2＝12π12AB2+12π12AC2−12π12BC2+S△ABC
＝18πAB2+AC2−BC2+SΔABC
＝S1．
故选A．
14．（2019·河北初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，
即a2+b2=49，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，
即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，
即(a+b)2=94，
∵a+b>0，
∴a+b=，故④错误，
由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，
即(a-b)2=4，
∵a-b>0，
∴a-b=2，故②正确．
故选A．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·溧阳市南渡初级中学初三二模）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.

【答案】4
【解析】∵勾，弦，
∴股b=，
∴小正方形的边长＝，
∴小正方形的面积
故答案为：4
16．（2020·海林市朝鲜族中学初二期末）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．
【答案】13，84，85
【解析】
由题意得，每组第一个数是奇数，且逐步递增2，第二、第三个数相差为一
故第⑥组的第一个数是13
设第二个数为x，第三个数为x+1
根据勾股定理得

解得
则第⑥组勾股数：13，84，85
故答案为：13，84，85．
17．（2019·河南省实验中学初二期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＋AB＝10，BC＝3，则AC＝___________．

【答案】4.55
【解析】
设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10-x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．
解得：x=4.55，
即AC=4.55．
18．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）如图，在中，，、是边上的点，连结、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若，，则线段的长为_________．

【答案】4
【解析】解：根据折叠的性质可知：AD=A′D，∠ACD=∠A′CD，∠BCE=∠B′CE，CD⊥AB，，，∠B=∠B′，
∴∠A′CD+∠B′CE=∠ACD+∠BCE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
∵根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴∠A=∠CA′A，
∵∠CA′A=∠B′A′E，
∴∠A=∠B′A′E，
∴∠A′EB′=∠ACB=90°，
∴，
故答案为：4．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·广东初二月考）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．

【答案】60m
【解析】解：在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=65m，BC=25m，
∴,
∴(m)
答：该河流的宽度为60 m
20．（2020·定州市宝塔初级中学初二期末）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9．

（1）求CD的长．
（2）求AD的长．
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）12；（2）16；（3）△ABC是直角三角形，理由见详解．
【解析】解：（1）∵ CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
在Rt△CDB中，CD＝＝＝12．
（2）在在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，AC=20，CD=12，
∴AD＝ ＝＝16．
（3）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝AD＋BD＝16＋9＝25，
∴AC2＋CB2＝202＋152＝625，
AB2=252=625，
∴AC2＋CB2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
21．（2020·吉林初二期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．

【答案】风筝距离地面的高度AB为12米．
【解析】由题意得：是直角三角形，，米
设，则
在中，由勾股定理得：，即
解得（米）
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
22．（2019·山东初二期中）某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为25元，小区修建这个花园需要投资多少元？

【答案】学校修建这个花园需要投资2100元．
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，

设BD=x，则CD=14﹣x，在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2=AB2﹣BD2 ， AD2=AC2﹣CD2 ，
∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2 ，即132﹣x2=152﹣(14﹣x)2 ，
解得x=5，
∴AD2=AB2﹣BD2=132﹣52=144，
∴AD=12(米)，
花园的面积＝×14×12＝84 (m2 )
∴学校修建这个花园的费用=25×84=2100(元)．
答：学校修建这个花园需要投资2100元．
23．（2020·北京四中初二期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．
（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
a
b
c
a
b
c
3
4
5
4
3
5
5
12
m
6
8
10
7
24
25
p
15
17
9
n
41
10
24
26
11
60
61
12
35
37
…
…
…
…
…
…
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．
（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．

【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．
【解析】（1）根据勾股数的定义计算即可；
（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）∵52+122＝132，
∴m＝13；
∵92+402＝412，
∴n＝40，
∵82+152＝172，
∴p＝8．
（2）如图所示：

在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，
S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．
24．（2018·广西初二期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题:
（1）求PR、PQ的值；
（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)

【答案】（1）18海里、24海里；（2）北偏西
【解析】（1）PR的长度为:12×1.5=18海里，
PQ的长度为:16×1.5=24海里；
（2）∵
∴，
∵“远航”号向北偏东方向航行，即，
∴，即 “海天”号向北偏西方向航行．
25．（2020·北京初三二模）在中，，是边上的一点（不与点重合），边上点在点的右边且，点关于直线的对称点为，连接．

（1）如图1，
①依题意补全图1；
②求证：；
（2）如图2，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①依题意补全图形，见解析；②见解析；（2）线段之间的数量关系是．证明见解析．
【解析】（1）①依题意补全图形，如图1．

②证明：连接，如图2．
，
．
点F与点D关于直线对称，
，．
．
又，
．
．
（2）线段之间的数量关系是．
证明：连接，如图3．

，
．
由（1）②，可得．

在中，由勾股定理，得．
．
26．（2020·新疆八十七中初二期中）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）则BC＝　 　cm；
（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ＝　 　；
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

【答案】（1）BC＝12cm；（2）t＝，CQ＝13cm；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，
∴BC＝＝＝12（cm）．
故答案为：12；
（2）如图，

∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，
在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2，
解得：t＝．
此时，点Q在边AC上，CQ＝（cm）；
故答案为：13cm．
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴2t=22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，

则BC+CQ＝24，
∴2t=24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，
∴，
∴＝．
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴2t=26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．