专练11（三角函数大题）中考数学考点必刷题（解析版）

这是一份专练11（三角函数大题）中考数学考点必刷题（解析版），共32页。试卷主要包含了）今年“五一” 假期等内容，欢迎下载使用。
专练11（三角函数大题）（30道）
1．如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在处测得无人机的仰角，在处测得无人机的仰角，已知测角仪的高，、两处相距，根据所给数据计算无人机的高度.（结果精确到米，参考数据：，）

【答案】19.3m.
【解析】
解：如图，过点作点于．
∵，

∴．
设，则．
∵，
∴．
由题意知：，
∴．
解得：．
．
答：计算得到的无人机的高约为19.3m．
【点睛】
此题主要考察三角函数的应用.
2．如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16）

（1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）；
（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．
【答案】（1）10；（2）瀑布的落差约为411米．
【解析】
（1）∵tan∠CDE＝
∴CD＝3CE．
又CD＝100米，
∴100＝
∴CE＝10 ．
故答案是：10．
（2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形．
∴CE＝BF＝10，CF＝BE．
在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米．
∵＝ ，
∴DE＝30．
在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF
解得x≈411．
答：瀑布的落差约为411米．

【点睛】
本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
3．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.

【答案】（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米.
【解析】
（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，

∴AF=DE，DF=AE.
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
∴BF=DF=AB-AF=60-x（米）
∵DF=AE=AC+CE，
∴20+x=60-x
解得：x=80-120（米）
故斜坡CD的长度为（80-120）米.
点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方米处的点C出发,沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号）

【答案】3+3.5
【解析】
如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，

∵tan∠DCF=i=，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4，
∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，
∴BF=BC+CF=2+2=4，
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，
∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，
则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，
故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．
考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
5．在某飞机场东西方向的地面 l 上有一长为 1km 的飞机跑道 MN（如图），在跑道 MN的正西端 14.5 千米处有一观察站 A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点 A 的北偏西30°，且与点 A 相距 15 千米的 B 处；经过 1 分钟，又测得该飞机位于点 A 的北偏东 60°，且与点 A 相距 5千米的 C 处．
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道 MN 之间？请说明理由．

【答案】（1）600km/h；（2）能，见解析
【解析】
解：（1）由题意，得，

飞机航行的速度为：（km/h）
（2）能；

作 于点，设直线交于点．
在中，，
∴，即，
又∵，
，
，即


又




∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道之间．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的实际应用，准确理解题意，并且画出辅助线是求解本题的关键.
6．）今年“五一” 假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度．

【答案】（1）521（米）；（2）1：2.4．
【解析】
解：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．在C点测得B点的俯角为30°，∴∠CBD=30°，又BC=400米，∴CD=400×sin30°=400×=200（米）．
∴B点的海拔为721﹣200=521（米）．

（2）∵BE=DF=521﹣121=400米，
又∵AB=1040米，AE===960米，
∴AB的坡度iAB===．
故斜坡AB的坡度为1：2.4．
【点睛】
此题将坡度的定义与解直角三角形相结合，考查了同学们应用数学知识解决简单实际问题的能力，是一道中档题．
7．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈0.2588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，，）

【答案】3.05米.
【解析】
延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392，
∴GM=AB=2.2392，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHD=60°，sin∠FAG=，
∴sin60°=，
∴FG=2.165，
∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮框D到地面的距离是3.05米．

考点：解直角三角形的应用．
8．某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）

【答案】1.8米
【解析】
在Rt△APN中，∠NAP=45°，
∴PA=PN,
在Rt△APM中，,
设PA=PN=x，
∵∠MAP=58°,
∴=1.6x,
在Rt△BPM中，,
∵∠MBP=31°，AB=5,
∴,
∴ x=3,
∴MN=MP-NP=0.6x=1.8（米）,
答：广告牌的宽MN的长为1.8米．
【点睛】
熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键.
9．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）

【答案】
【解析】
过点A作，垂足为G．则，在中，
,
由题意，得,
∴,
连接FD并延长与BA的延长线交于点H． 由题意，得．在中，
,
∴．
在中，.
答：支角钢CD的长为45cm，EF的长为.

考点：三角函数的应用
10．如图，甲、乙只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15 km的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h到达C处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B处相遇．问：
(1)甲船从C处出发追赶上乙船用了多少时间？
(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

【答案】(1) 2 h ;(2) 15(1＋)千米.
【解析】
（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．作CG∥AE交AD于点G．

∵乙船沿东北方向前进，
∴∠HAB=45°，
∵∠EAC=30°，
∴∠CAH=90°-30°=60°
∴∠CAB=60°+45°=105°．
∵CG∥EA，∴∠GCA=∠EAC=30°．
∵∠FCD=75°，∴∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°，
∴∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30°．
在直角△ACD中，∠ACD=45°，AC=2×15=30．
AD=AC•sin45°=30×=30千米．
CD=AC•cos45°=30千米．
在直角△ABD中，∠B=30°．
则AB=2AD=60千米．
则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15-2=2小时；
（2）BC=CD+BD=30+30千米．
则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+30）÷2=15(1+)千米/小时．
答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15(1+)千米．
【点睛】
一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算，正确作辅助线是解决本题的关键．
11．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】（1）10米；（2）11.4米
【解析】
（1）如图，延长DC交AN于H，

∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）；
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH=≈=20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
12．如图，某学校甲楼的高度是，在甲楼楼底处测得乙楼楼顶处的仰角为，在甲楼楼顶处测得乙楼楼顶的仰角为，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离（结果取整数）.参考数据：，，，.

【答案】乙楼的高度约为m，甲乙两楼之间的距离约为m.
【解析】
解：过点作，垂足为点，

可知.
∴四边形是矩形.
∴，.
设甲乙两楼之间的距离为m.
则，
在中，，.
∴.
在中，，.
∴.
∵，
∴.
∴.
解得.
∴.
.
答：乙楼的高度约为m，甲乙两楼之间的距离约为m.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系列出方程．
13．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）
参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，．

【答案】塔高AB约为32.99米.
【解析】
解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H．

由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC，∠ABC =∠AHD = 90°，
∠ADH = 32°．
设AB = x，则 AH = x – 3．
在Rt△ABE中，由 ∠AEB = 45°，得 ．
∴ EB = AB = x．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．
在Rt△AHD中，由 ∠AHD = 90°，得 ．
即得 ．
解得 ．
∴ 塔高AB约为32.99米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶．

(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由．
【答案】(1)α＝30°；(2)文化墙PM不需要拆除，理由见解析．
【解析】
（1）∵新坡面的坡度为1：，
∴tanα=tan∠CAB=，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文化墙PM不需要拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，
∴BD=CD=6，AD=6，
∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，
∴文化墙PM不需要拆除．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用．
15．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．
【解析】
解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．
故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．
16．高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】17
【解析】
解：设AH的长为 x米，则CH的长为（x－2）米.
在Rt△ABH中，AH＝BH tan45°，则BH＝x，
所以DH＝BH－BD＝x－10
在Rt△CDH中，CH＝DH tan65°，即x－2＝2.14（x－10），
解得：x＝17.01≈17.0
答：立柱AH的长为17米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数列出关于AH的方程是解题关键.
17．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

【答案】63米．
【解析】
解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°•x=1.4×45=63．
答：塔杆CH的高为63米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
18．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？

【答案】450m.
【解析】
解：，，
，
在中，，，
，
．
答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上．
【点睛】
本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.
19．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆9m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）

【答案】拉线CE的长约为(6+)米．
【解析】
解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=9，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=9tan30°=9×（米），
∵DH=1.5，
∴CD=3+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE（米），
答：拉线CE的长约为(6+)米
【点睛】
考核知识点：解直角三角形的实际应用.构造直角三角形是关键.
20．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】7.6 m．
【解析】
解：由题意，∠BDC＝45°，∠ADC＝50°，∠ACD＝90°，CD＝40 m．
∵在Rt△BDC中，tan∠BDC＝BCCD=1．
∴BC＝CD＝40 m．
∵在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD=AB+BCCD．
∴tan50°=AB+4040≈1.19．
∴AB≈7.6（m）．
答：旗杆AB的高度约为7.6 m．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
21． “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）

【答案】线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【解析】
∵BN∥ED，
∴∠NBD=∠BDE=37°，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），
如图，过C作AE的垂线，垂足为F，

∵∠FCA=∠CAM=45°，
∴AF=FC=25cm，
∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm），
∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
22．如图，一艘渔船位于灯塔A的南偏西75°方向的B处，距离A处30海里，渔船沿北偏东30°方向追寻鱼群，航行一段时间后，到达位于A处北偏西20°方向的C处，渔船出现了故障立即向正在灯塔A处的巡逻船发出求救信号．巡逻船收到信号后以40海里每小时的速度前往救助，请问巡逻船多少分钟能够到达C处？（参考数据：≈1.4，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，最后结果精确到1分钟）．

【答案】巡逻船大约41分钟能够到达处.
【解析】
解：过作，如下图所示：

由图知：

在中
海里

∴(海里)
∵
在中

∴(海里)
(小时)
0.68小时41分钟
∴巡逻船大约41分钟能够到达处
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确和掌握三角函数的定义与边和角的对应关系是解题关键.
23．如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．
（1）求传送带AB的长度；
（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）

【答案】（1）3米；（2）4.5米.
【解析】
（1）在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=37°，BD=1.8米，
∴AB=≈=3（米）．
答：传送带AB的长度约为3米；
（2）∵DF=BD+BF=1.8+0.2=2米，斜坡EF的坡度i=1：2，
∴，
∴DE=2DF=4米，
∴EF==2≈4.5（米）．
答：改造后传送带EF的长度约为4.5米．
24．）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．
（1）求居民楼AB的高度；
（2）求C、A之间的距离．（结果保留根号）

【答案】（1）m；（2）m．
【解析】
解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，

在Rt△PCE中，
∵PC=30m，∠CPE=45°，
∴m，m
∵点C与点A恰好在同一水平线上，民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，
∴m,
（2）在Rt△ABP中,
∵∠APB=60°，
∴，即，
∴m
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
25．某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米.求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．

【答案】AH的高度是()米，AB的高度是米.
【解析】
解：由题意可知∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，FG＝15.
设CD＝x米，则在Rt△ACD中，由 得AC＝.
又Rt△ACE中，由得EC＝3x.
∴3x＝15＋x.
∴x＝7.5.
∴AC＝.∴AH＝.
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，∴BC＝DC＝7.5.∴AB＝AC﹣BC＝．
答：AH的高度是()米，AB的高度是米.
【点睛】
本题考查的是三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键.
26．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【答案】13.8．
【解析】
如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意=，即=，CM=，
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，
∴tan72°=，
∴AN≈12.3，
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=，
∴AB=AN+BN=13.8米．

考点：解直角三角形的应用.
27．如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24n mile/h，乙船的速度为15n mile/h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB=10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C，D两处．
（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
（1）求两条航线间的距离；
（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）

【答案】（1）两条航线间的距离为6.43（n mile）；（2）还需要0.52h才能使两船的距离最短
【解析】
（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，
在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，∠EAB=50°，AB=10，
∴AE=AB•cos50°=10×0.643=6.43（n mile），
答：两条航线间的距离为6.43（n mile）；
（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．
∵BE=AB•sin50°=7.66，
AC=24×=8，BD=15×=5，
∴DF=BD+BE﹣AC=4.66，
设还需要t小时才能使两船的距离最短，
则有：24t﹣15t=4.66，
解得t=0.52（h），
答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．

【点睛】
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
28．某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P的高度，如图，A，B两个观测点相距，在A处测得P在北偏东71°方向上，同时在B处测得P在北偏东35°方向上．求无人飞机P离地面的高度.(结果精确到1米，参考数据：，，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)

【答案】无人飞机P离地面的高度约为136米．
【解析】
过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，

根据题意，得AB＝300m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，
设PC＝xm，
在Rt△PBC中，BC＝CP×tan35°≈0.70x（m），
在Rt△PAC中，AC＝CP×tan71°≈2.90x（m），
∴300+0.70x＝2.90x，
∴x＝，
答：无人飞机P离地面的高度约为136米．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个直角三角形，再利用三角函数值解答．
29．如图，小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42∘，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为30∘，已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度.(结果保留整数，参考数据：sin42∘≈0.7，cos42∘≈0.7，tan42∘≈0.9，3≈1.7)

【答案】楼AB的高度约为30m．
【解析】
∵在Rt△CBD中，∠CBD=30∘，CD=12m，
∴DB=CDtan30∘=123，
过点C作CE⊥AB于点E，

则CE=DB=123m.
∵在A处测得旗杆CD的顶端C的俯角为42∘，
∴∠ACE=42∘，
∴AE=CE⋅tan 42∘≈123×0.9≈18.4(m)
∴AB=BE+AE=CD+AE=12+18.4≈30(m)．
答：楼AB的高度约为30m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．
30．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC＝10米，又测得∠BDA＝45°．已知斜坡CD的坡度为i＝1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．

【答案】旗杆AB的高度约为16米．
【解析】
解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．
∵i＝tan∠DCF＝，
∴∠DCF＝30°．
又∵∠DAC＝15°，
∴∠ADC＝15°．
∴CD＝AC＝10．
在Rt△DCF中，DF＝CD•sin30°＝10×＝5（米），
CF＝CD•cos30°＝10×，∠CDF＝60°．
∴∠BDF＝45°+15°+60°＝120°，
∴∠E＝120°﹣90°＝30°，
在Rt△DFE中，EF＝，
∴AE＝10++＝+10．
在Rt△BAE中，BA＝AE•tanE＝（+10）×＝10+≈16（米）．
答：旗杆AB的高度约为16米．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．