数学七年级上册第三章 勾股定理1 探索勾股定理学案

1探索勾股定理

【学习目标】

1．  体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．

2．掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

3．通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；

4.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

【学习策略】

情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．

学习过程 

一情境导入：

2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．

二.新课学习：

1、你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？

图中的较小的两个正方形面积分别记为，较大那个正方形的面积记为；则有：                    

（1）          （2）                     

图（1）中，=     =     =  ，   图（2）中，=      =     =     。

学生通过观察，归纳发现：

结论1  以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于          的正方形的面积．

2、由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？

（1）观察下面两幅图：

第①个图中，=      ，=       ，=        。

第②个图中，=      ，=       ，=        。

（2）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流。你发现了什么？

学生通过分析数据，归纳出：

结论2  以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于             的正方形的面积．

3、（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？

（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么                 

即直角三角形             的平方和等于      的平方。

利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）

小组讨论得到两个图形：

（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？

例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

三.尝试应用：

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（     ）

A.5          B.12        C.13          D.18

2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，则Rt△ABC的面积为（　　）

A.24cm2　　　  B.36cm2　　　　C.48cm2　　　　D.60cm2

3、若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=        ；（2）若a=6，c=10，则b=       ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=       ，b=       。

4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　。

（不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。

6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？

五.达标测试

一、选择题

1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A．25  B．7  C．5和7  D．25或7

2．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）A．5 B．25 C．7 D．15

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（　　）

A．2  B．  C．   D．

二、填空题

4．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为　  　．

5．如图，Rt△ABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是　　cm2．

6. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是　         　．

　三、解答题

7．一游泳池长48m，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3m/秒，小朱为3.1m/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14m．按各人的平均速度计算，谁先到达终点？

8. 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．

9. 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，求点M对应的实数．

参考答案

达标测试答案：

一、选择题

1．【解析】选D．分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7.

【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论，避免漏解.

2. 【解析】选C．依题意得：x2﹣4=0，y2﹣3=0，

∴x=2，y=，斜边长==，所以正方形的面积=（）2=7．

【点评】本题考查勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系.

 3. 【解析】选C．在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC==4，连接AE，

从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE=BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2=AE2，

即32+（4﹣AE）2=AE2，解得：AE=，在Rt△ADE中，AD=AB=，由勾股定理得：DE2+（）2=（）2，解得：DE=．

【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解题的关键.

.二、填空题

4．【解析】：由题意可作图．如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：D==4，∴BD=1．∴BC2=12+32=10．如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．

答案：10或90．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可。注意分类讨论.

 5．【解析】：如图，a2=c2+b2=25，则a=5．又∵Rt△ABC的周长为，∴a+b+c=5+3，∴b+c=3（cm）．∴△ABC的面积=bc=[（c+b）2﹣（c2+b2）]÷2=[（3）2﹣25]÷2=5（cm2）．

答案：5．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答此题时，巧妙运用了完全平方公式的变形来求△ABC的面积.

 6. 【解析】：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=24﹣8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，

所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．

答案：7cm≤h≤16cm．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h值最大值与最小值是解题的关键.

　三、解答题

7. 【解答】解：如图，AB表示小方的路线，AC表示小朱的路线，由题意可知，AB=48，BC=14，在直角三角形ABC中，AC===50，小方用时：=16秒，小朱用时=16秒，因为16＜16，所以小方用时少，即小方先到达终点．

【点评】本题主要是运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.

8. 【解析】如图，延长AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1，∴AE=2AB=2×4，CE=2CD=2×1=2，由勾股定理得，BE==2，DE==，∴S四边形ABCD=×2×2﹣××1，=2﹣，=．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知中任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的长的平方是解答此题的关键.

 9.　 【解析】：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，

∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，

∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，

∴OM=OC=，∴点M对应的数为．

【点评】