2021年杭州师大附中高一自主招生考试数学测试题及参考答案

这是一份2021年杭州师大附中高一自主招生考试数学测试题及参考答案，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
师大附中高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分  考试时间120分钟 题号一二三总 分复 核12345得分         阅卷教师          一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是………………【    】      2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【   】① 实数不是有理数就是无理数；② a＜a＋a；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个           B. 2 个             C. 3 个            D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【   】A、甲比乙更优惠      B、乙比甲更优惠  　C、甲与乙相同  　D、与原标价有关4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右   滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【    】A、2π          B、π      　 　C、     　D、45、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则等于……………………………………………………………………………【   】A、36          B、37          C、38          D、39 二、填空题（每小题6分，共48分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过            小时，两人相遇。2、若化简的结果为，则的取值范围是                        。3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是               。 笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙9088904、已知点是一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，点在 轴的负半轴上，且（为坐标原点），则的面积为                    。5、如果多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值是                。6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=（），△BPQ与△CPR的面积之和为，把表示为的函数是                     。7、已知为方程的两实根，则             。8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多             道。 三、解答题（本大题6小题，共72分）1、（10分）在中，，。的垂直平分线分别交、于、两点，连结，如果，求：的值。 2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。 甲乙价格（万元／台）75每台日产量（个）10060⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？  3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中，。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。      4、（12分）如图所示等腰梯形中，∥，,对角线与交于,, 点分别是的中点。求证：△是等边三角形。        5、（12分）如右图，直线OB是一次函数的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。     6、（14分）已知关于x的方程有两个正整数根（m 是整数）。△ABC的三边a、b、c满足，，。求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。     师大附中高一自主招生考试数学试题参考答案一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B二、1、2  2、  3、甲、乙  4、 5、6、  7、7  8、20三1、有已知可得均为等腰直角三角形，计算得，在直角三角形中，。2、（1）设购买台甲机器，则，所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。（2）按方案①，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案②，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案③，所需资金为（万元），日产量为（个）。所以，选择方案②。 3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy，  ① 因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得 ，即．  代入①，得，  即．     因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．此时，钢板的最大利用率是80％。4、连CS。∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO=BO,CO=DO.∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.同理BP⊥AC.在Rt△BPC中，PQ=BC.又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.∴SP=PQ=SQ.故△SPQ为等边三角形.5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.   设C1（），则得，解得，得C1（）    若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.   设C2（），则得，解得.得C2（）   又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（）   若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（）.   所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（），（），（），C4（）6、（1）方程有两个实数根，则，解方程得，．由题意，得  即故．（2）把代入两等式，化简得，，当时，．当时，、是方程的两根，而△＞0，由韦达定理得，＞0，＞0，则＞0、＞0．     ①，时，由于故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．②，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③，时，因＞，故能构成三角形．S△ABC＝综上，△ABC的面积为1或．