福建省普通高中2021年1月学业水平合格性考试数学试题-普通用卷

学业水平合格性考试模拟考（二）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，其俯视图可以为圆的是

A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

5. 函数的定义域为

A.  B.  C.  D.

6. 根据防疫要求，需从2名男医生和1名女医生中任选2名参加社区防控服务，则选中的2名都是男医生的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则的最小值为

A.  B. 2 C.  D. 4

8. 如图，在边长为2的正方形中随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为
   A.  B. 1 C. 2 D. 3
9. 已知直线，，若，则实数

A.  B.  C. 1 D. 2

10. 不等式的解集是

A.  B.
C.  D.

11. 已知，，则

A.  B.  C.  D.

12. 函数的图象大致为

1.                             B.                           C.                    D.

13. 函数的最小值是

A.  B.  C.  D.

14. 已知，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

15. 关于函数有下列四个结论：

①的图象关于原点对称；

②在区间上单调递增；

③的一个周期为；

④在是有四个零点

其中所有正确结论的编号是

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④

16. 若，则__________.
17. 已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为__________.
18. 在等差数列中，，则__________.
19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则__________.
20. 要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是300元，侧面每平方米的造价是200元，则该容器的最低总造价为__________元.
21. 已知等比数列的前n项和为，且，

求的通项公式；

若，求


 

22. 已知圆C：

求圆心C的坐标及半径长；

求直线l：被圆C所截得的弦AB的长．



 

23. 如图，在三棱锥中，已知和均为正三角形，D为BC的中点．

求证：平面PAD；

若，，求三棱锥的体积．



 

24. 有人收集了5年中某城市的居民年收入即此城市有居民在一年内的收入总和与某种商品的销售额的有关数据：

求，；

求y关于x的回归方程；

如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少?

附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，



 

25. 已知四个函数：，，，

从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；

以上四个中，是否满足其图象与直线有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由.







答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的并集运算，属于基础题.

【解答】

解：因为，，

所以

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据各选项几何体的结构特征，判断俯视图的形状即可.

【解答】

解：A：长方体的俯视图为矩形，不合题设；

B：圆柱的俯视图是圆，符合题设；

C：三棱锥的俯视图为三角形，不合题设；

D：正方体的俯视图为正方形，不合题设.

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了特殊角的三角函数值求解，属于基础题.
根据特殊函数值得结果.

【解答】

解：由特殊角的三角函数值知
故选：

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量线性运算的坐标表示，属于基础题.

【解答】

解：由题设，

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了具体函数的定义域，属于基础题.

【解答】

解：，

所以的定义域为

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.
根据题设，求出总的样本总数，再计算满足的种类，从而得到结果.

【解答】

解：将2名男医生记为，，1名女医生记为b

从2名男医生和1名女医生中任选2名参加社区防控服务，所有可能情况有：

，，共3种

选中的2名都是男医生的情况为：，共1种

所以选中的2名都是男医生的概率为：

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

作出可行域，利用直线截距的几何意义，数形结合求解.

【解答】

解：如图，作出可行域，

由可得，

由图可知当直线过点A时，z有最大值，

由得，

所以

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据几何槪型的概率公式即可得到结论．

【解答】

解：正方形的面积4，设阴影部分的面积为S，

随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，

由几何槪型的概率公式进行估计得，解得

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线平行关系的应用，属于基础题.

【解答】

解：因为直线，，且，

所以

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了不含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.
求解，进而判断选项.

【解答】

解：，

解得或，

所以不等式的解集为
故选：

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的平方关系，属于基础题.
根据与的范围，求解

【解答】

解：因为，，，，

所以
故选：

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了简单的幂函数的图象与性质，属于基础题.

【解答】

解：由，排除B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除
故选：

13.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦型函数的值域，涉及三角恒等变换公式，属于中档题.
逆用两角和与差得正弦公式，求解三角函数的最小值.

【解答】

解：由，

又函数的值域为，

则函数的最小值为
故选：

14.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数的单调性判断指数式的大小关系，属基础题.
由的单调进行求解判断.

【解答】

解：由题设，，，，又在定义域上递增，

15.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了正、余弦函数的性质，属中档题.
根据解析式逐项进行判断.

【解答】

解：对于①，函数的定义域为，且，

所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；

对于②，当时，，，所以，

又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；

对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；

对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；

综上得正确命题的编号为：①②.
故选：

16.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题考查函数求值，属于基础题.
根据解析式，令求解即可.

【解答】

解：因为，

所以，

故答案为：

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.
根据向量的数量积求解夹角的余弦值.

【解答】

解：设与的夹角为，因为，，，所以，

所以与的夹角的余弦值为

故答案为：

18.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列性质，涉及等差中项知识，属于基础题.
根据等差数列的性质求解.

【解答】

解：是等差数列，，

，

解得

故答案为：

19.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
利用正弦定理，求解a值.

【解答】

解：由可得，

由正弦定理可得，

解得，

故答案为：

20.【答案】5100
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用分式函数模型解决实际问题，涉及基本不等式求最值，属于中档题.
利用体积和高，设长方体的长为xm，则宽为，进而表达，利用基本不等式求解.

【解答】

解：由题知，长方体容器的容积为，高为

所以长方体容器的底面积为

设该容器底面长为，则宽为

该容器的4个侧面面积为：，，，

设总造价为y元，则

即元，当且仅当，即时，取等号.

所以该容器的最低总造价为5100元.

故答案为：

21.【答案】解：设等比数列首项为，公比为q，

，

所以

【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n项和求项数，属于基础题.
本题考查了等比数列的通项公式;
本题考查了等比数列前n项和中的基本量计算.
 

22.【答案】解：因为圆 C：，所以圆心，半径；

圆心到直线l：的距离为，

所以直线l：被圆C所截得的弦AB的长为，

所以直线l：被圆C所截得的弦AB的长为

【解析】本题考查已知圆的标准方程求解圆心坐标和半径，垂径定理求解弦长，属于中档题.
本题考查根据圆的标准方程确定圆心与半径;

本题考查直线与圆的相交弦长，涉及点到直线的距离公式.

23.【答案】解：因为和为正三角形， D为 BC的中点，

所以，

又，平面PAD，

所以平面PAD

因为和为正三角形，且，

所以，

又，

所以正三角形的面积为，

所以

【解析】本题考查了线面垂直的判定和棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.
根据和为正三角形， D为 BC的中点，则，进而推出结论;
根据题意可得的面积为，由进而计算得出结果.
 

24.【答案】解：由表格数据，，

由题设，，，故，

由知：，

关于x的回归方程为

由知：时，万元.

【解析】本题考查回归方程的求解，平均数求解，估计，考查运算求解能力，属于中档题；
本题考查了根据平均数的求法

本题考查了利用最小二乘求回归直线方程；

本题考查了用回归直线方程对总体进行估计.

25.【答案】解：且定义域为，为奇函数；

且定义域为R，为奇函数；

且定义域为R，为奇函数；

且定义域为R，为偶函数.

对于：当时，在上单调递减，上单调递增且最小值，而当时函数值恒为负数，故其与有两个公共点，不符合题设；

对于：，易知在R上单调递增且值域为，故其与没有公共点，不符合题设；

对于：根据对数型复合函数的单调性知：在R上递增且值域为，故其与有且仅有一个公共点，符合题设；

对于：，故其与没有公共点，不符合题设；

综上，存在符合要求的函数

【解析】本题考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

本题考查了对勾函数、指数函数、对数函数、二次函数的性质的综合应用，属于较难题.