高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第1课时导学案

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1．理解并集、交集的概念．
2．会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集．
3．会求简单集合的并集和交集．
1．并集的概念及表示
2.交集的概念及表示
温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
3．并集、交集的运算性质
1．已知下列集合：
A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．
(1)集合A与集合B各有几个元素？
(2)若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？
(3)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
[答案] (1)A有2个元素，B有4个元素
(2){－1,1,2,3,4}
(3)集合A、B中的元素属于集合C
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合．( )
(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )
(3)并集定义中的“或”就是“和”．( )
(4)若A∩B＝C∩B，则A＝C.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一 并集的运算
【典例1】 (1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．
[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.
(2)在数轴上表示两个集合，如图．
∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.
[答案] (1)A (2)C
求集合并集的2种方法
(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．
(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
[针对训练]
1．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
[解析] ∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}．
[答案] C
2．若集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
[解析] 将－35在数轴上表示出来．
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
[答案] {x|x<－5或x>－3}
题型二 交集的运算
【典例2】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.
(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，
∴A∩B＝{2}．选A.
[答案] (1)A (2)A
求集合交集的2个注意点
(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．
[针对训练]
3．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1}
C．{0,3} D．{3}
[解析] ∵A＝{0,1,2,3}，
B＝{x|x＝3a，a∈A}，∴B＝{0,3,6,9}，
∴A∩B＝{0,3}．
[答案] C
4．设A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，则A∩B＝________.
[解析] A∩B＝{(x，y)|x＋y＝0且x－y＝4}
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,x－y＝4))))))，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＝4，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2.))
∴A∩B＝{(2，－2)}．
[答案] {(2，－2)}
题型三 由集合的并集、交集求参数
【典例3】 (1)设集合A＝{x|－1(2)已知集合A＝{x|－3[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A∪B＝A，则B⊆A；若A∩B＝A，则A⊆B.
[解] (1)如下图所示，
由A∪B＝{x|－1(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.
若B＝∅，则2－k>2k－1，得k<1；
若B≠∅，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－k≤2k－1，,2－k>－3，,2k－1≤4，))解得1≤k≤eq \f(5,2).
综上所述，k≤eq \f(5,2).
[变式] 本例(2)若将“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵A∩B＝A，∴A⊆B.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－k≤－3，,2k－1≥4，))解得k≥5.
由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点
(1)策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B.
(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．
[针对训练]
5．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
[解] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M,3∈N.
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4，
当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与元素的互异性矛盾．所以a≠－1.
当a＝4时，N＝{－1,4,3}，适合题意．
综上，a＝4.
6．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解] 由已知得A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴集合B有两种情况：B＝∅或B≠∅.
①当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根．∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
②当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，此时B＝{2}⊆A满足条件；若Δ>0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的两根，但由根与系数的关系知矛盾，∴Δ>0不成立，∴当B≠∅时，a＝4.
综上可知，a的取值范围是{a|a≥4}.
课堂归纳小结
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有
公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
1．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
[解析] 因为A∩C＝{1,2}，所以(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，选D.
[答案] D
2．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x≤3} D．{x|0≤x<3}
[解析] 由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，
故P∩M＝{0,1,2}．
[答案] B
3．已知集合A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－eq \r(5)A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
[解析] ∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－eq \r(5)[答案] B
4．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．
[解析] 因为N＝{x|2x＋k≤0}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(k,2)))))，
且M∩N≠∅，所以－eq \f(k,2)≥－3⇒k≤6.
[答案] k≤6
5．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解] (1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N.
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
由(1)知，M∩N＝{2}＝M，
适合题意，故m＝2.
课后作业(四)
复习巩固
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0[解析] 借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．
[答案] A
2．若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3[解析] 由交集的定义知A∩B＝{x|－5[答案] A
3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
[解析] 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
[答案] A
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
[解析] ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
[答案] D
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1[解析] ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x可知a>－1.
[答案] C
二、填空题
6．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A的个数为________．
[解析] 由{0,1}∪A＝{0,1,2}可知A＝{2}或A＝{0,2}或A＝{1,2}或A＝{0,1,2}，共4个．
[答案] 4
7．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．
[解析] 集合A的含义是被3除余2的正整数组成的集合，在集合B中，8,14被3除余2，故A∩B＝{8,14}，其中有2个元素．
[答案] 2
8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1[解析] 由A∩B＝B得B⊆A.
①当B＝∅时，即m＋1≥2m－1，解得m≤2.
②当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1<2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤7，))解得2综上可知，m的取值范围是m≤4.
[答案] m≤4
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－2(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|－2又A∩B＝∅，∴m≤－2.
(2)∵A＝{x|－2由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
10．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
[解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A.
∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠∅时，此时a≠0，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))，
∴－eq \f(1,a)∈A，即有－eq \f(1,a)＝－2，得a＝eq \f(1,2).
综上，a＝0或a＝eq \f(1,2).
综合运用
11．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a>－1 D．a<－3或a>－1
[解析] 在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1，,a＋8>5，))解得－3[答案] A
12．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是( )
A．t<－3 B．t≤－3
C．t>3 D．t≥3
[解析] 因为B＝{y|y≤t}，又因为A∩B＝∅，且A＝{x|－3≤x≤3}，所以t<－3.
[答案] A
13．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1[解析] ∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
∴a＝－1，b＝2.
[答案] －1 2
14．高一某班60名同学参加跳远和铅球测试，及格人数分别为40人和31人，这两项均不及格的人数有4人，则两项都及格的人数为________．
[解析] 设所求人数为x，则由题意知(40＋31)－x＋4＝60，解得x＝15.
[答案] 15
15．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}．
(1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；
(2)若A⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．
[解] (1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立．
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠∅，如图：
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥－1，,3a－5≤16，))解得6≤a≤7.
经检验a＝6，a＝7符合题意．
综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是a≤7.
(2)因为A⊆(A∩B)，所以A∩B＝A，即A⊆B.
显然A＝∅满足条件，此时a<6.
若A≠∅，如图，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,3a－5<－1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1>16，))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,3a－5<－1，))解得a无解；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1>16，))解得a>eq \f(15,2).
综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是a<6或a>eq \f(15,2).
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪∅＝A
A∩∅＝∅