人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第2课时学案设计

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1．掌握用奇偶性求解析式的方法．
2．理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式．
3．理解函数的奇偶性的推广——对称性．
奇函数、偶函数的性质
(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0.
(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．
(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
1．观察下图，思考以下问题：
(1)奇函数、偶函数在原点处一定有定义吗？若有定义，f(0)的值能确定吗？
(2)函数的奇偶性如何影响函数的单调性？
[答案] (1)不一定．奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0；偶函数在原点处有定义，f(0)的值不确定
(2)奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数．( )
(2)在公共的定义域内，若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f(x)·g(x)为奇函数．( )
(3)偶函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0.( )
(4)f(x)是定义在R上的奇函数的必要不充分条件是
f(0)＝0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
题型一 利用奇偶性求函数的解析式
【典例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．
[思路导引] 借助奇函数的定义，利用x>0时的解析式，确定x<0，即－x>0时的解析式．
[解] (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0.))
[变式] 若将本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)．
∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
[针对训练]
1．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0，－x>0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.
又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x＋1，x<0.))
题型二 函数的单调性与奇偶性
【典例2】 (1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小；
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[思路导引] (1)利用函数奇偶性，得f(－5)＝f(5)，将自变量的取值转化到同一单调区间内来比较大小；(2)利用偶数在对称区间上单调性相反，将问题转化为自变量取值与原点距离的大小问题求解．
[解] (1)因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，
因为f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(5)(2)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
所以不等式f(1－m)f(|1－m|)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|1－m|>|m|，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，))解得－1≤m即m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).
奇偶性与单调性综合问题的2种类型
(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上
①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
(2)解不等式
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．
[针对训练]
2．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
[解析] f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
[答案] C
3．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
[解] 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，所以m－1>2m－3，
所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得1课堂归纳小结
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称．
2．两个常用结论：
(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
3.具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
4．分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x－1
[解析] 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1(x<0)．
[答案] B
2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
[解析] ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)即f(－π)>f(3)>f(－2)．
[答案] A
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
[解析] 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)[答案] A
4．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6B．最小值－6
C．最大值－6D．最大值6
[解析] 因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
[答案] C
5．函数f(x)＝x3＋eq \r(3,x)＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
[解析] ∵f(a)＝2，∴a3＋eq \r(3,a)＋1＝2，
a3＋eq \r(3,a)＝1.∴f(－a)＝(－a)3＋eq \r(3,－a)＋1＝－(a3＋eq \r(3,a))＋1＝－1＋1＝0.
[答案] 0
课内拓展 课外探究
一、抽象函数的奇偶性与对称性
我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．那么，我们能否把这种对称性进行推广呢？
1．函数图象关于直线x＝a对称的问题
【典例1】 当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
[解] 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；
反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则可证明其图象关于直线x＝a对称．
证明：设函数y＝f(x)的图象上任一点为P(x，y)，则它关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x，y)．因为f(a－x)＝f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)．
这说明点P′(2a－x，y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于直线x＝a对称，
由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：
2.函数图象关于点(a,0)对称的问题
【典例2】 当函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
[解] 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；
反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则可证明其图象关于点(a,0)对称．
证明：设函数y＝f(x)图象上任一点为P(x，y)，则它关于点(a,0)的对称点为P′(2a－x，－y)．因为f(a－x)＝－f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝－f[a－(a－x)]＝－f(x)＝－y.
这说明点P′(2a－x，－y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于点(a,0)对称．
由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．
若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：
二、抽象函数的奇偶性与单调性
抽象函数涉及的问题有如下几类：
一是单调性，由于没有具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得靠题中给出的抽象函数所满足的关系，通过赋特殊值、转化等手段，归结到函数单调性的定义上去解决．
二是奇偶性，这类题的入手点是函数奇偶性的定义，解题时抓住定义，实现问题的转化．
三是不等式，一般要先研究函数的性质，再转化为一般的不等式进行解答．
【典例3】 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)≥4的解集．
[解] (1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
∴f(－x)＝f(x)．又∵函数f(x)的定义域关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.
又∵当x>1时，f(x)>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))>0.而f(x2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1·\f(x2,x1)))＝f(x1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x1)))>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，
∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数，且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式转化为f(3x－2)≥f(16)．又∵函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又转化为|3x－2|≥16，即3x－2≥16或3x－2≤－16，∴不等式f(3x－2)≥4的解集为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(14,3)或x≥6)).
[点评] 对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段．具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后再通过赋值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断．
课后作业(二十二)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝eq \f(1,x2)B．y＝eq \f(1,x)
C．y＝x2D．y＝2x
[解析] 易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
[答案] A
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2)B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2)D．y＝x(|x|－2)
[解析] 由x≥0时，f(x)＝x2－2x，
f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－2，x≥0，,x－x－2，x<0，))即f(x)＝x(|x|－2)．
[答案] D
3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)D．[1，＋∞)
[解析] 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
[答案] A
4．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A．a<1B．a<3
C．a>1D．a>3
[解析] ∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，
∴2－a>a－4，得a<3.
[答案] B
5．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．10B．－10
C．9D．15
[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
[答案] C
二、填空题
6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
[解析] 因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
[答案] 3
7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0)上的解析式为__________________．
[解析] 由题意知f(x)在[－1,0)上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b(－1≤x<0)，代入解得k＝1，b＝2，所以f(x)＝x＋2(－1≤x<0)．
[答案] f(x)＝x＋2(－1≤x<0)
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
[解析] 由题意，知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以其图象与x轴的四个交点也两两成对，关于y轴对称，即方程f(x)＝0的实根两两互为相反数，故其所有实根之和是0.
[答案] 0
三、解答题
9．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－2x＋1，
∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x＋1，x<0.))
10．设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，
a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，
所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3))).
综合运用
11．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))B．f(－1)C．f(2)D．f(2)[解析] 由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(－1)＝f(1)．∵1∴f(1)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>f(2)，即f(2)[答案] D
12．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( )
A．x2B．2x2
C．2x2＋2D．x2＋1
[解析] 因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1, ①
所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ②
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
[答案] D
13．已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x2＋x－1，则当x>0时，f(x)的递减区间是________．
[解析] 当x<0时，函数f(x)＝2x2＋x－1在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))上是递减的，又函数f(x)为奇函数，由奇函数图象的特征知，当x>0时，f(x)的递减区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)).
[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
[解析] 由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)[答案] (－2,2)
15．定义在R上的函数f(x)，满足对∀x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x的取值范围．
[解] (1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0，
令x1＝x，x2＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)因为f(4)＝1，所以f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，
所以原不等式化为f(x－1)又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(0)＝0且f(x)是奇函数，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，因此x－1<8，
所以x<9，所以实数x的取值范围是(－∞，9)．
f(x)在定义域内恒满足的条件
y＝f(x)的图象的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x)
直线x＝a
f(x)＝f(a－x)
直线x＝eq \f(a,2)
f(a＋x)＝f(b－x)
直线x＝eq \f(a＋b,2)
f(x)在定义域内恒满足的条件
y＝f(x)的图象的对称中心
f(a－x)＝－f(a＋x)
点(a,0)
f(x)＝－f(a－x)
点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))
f(a＋x)＝－f(b－x)
点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))