必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案

  5．5.2　简单的三角恒等变换

第1课时　简单的三角恒等变换

1．了解半角公式及推导过程．

2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．

3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．

1．半角公式

2.辅助角公式

asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)．(其中tanθ＝)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)sin15°＝± .(　　)

(2)cos15°＝ .(　　)

(3)tan＝.(　　)

(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

题型一  　求值问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【典例1】　已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．

[思路导引]　由α是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围．

[解]　∵π<α<，sinα＝－，

∴cosα＝－，且<<，

∴sin＝ ＝，

cos＝－ ＝－，

tan＝＝－2.

　解决给值求值问题的思路方法

(1)先化简已知或所求式子；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．

[针对训练]

1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．

[解]　由题意得2＝，

即1－sinα＝，得sinα＝.

∵450°<α<540°，∴cosα＝－，

∴tan＝＝＝

＝＝2.

题型二  三角函数式的化简

【典例2】　化简：(180°<α<360°)．

[思路导引]　利用二倍角公式将α角转化为角，注意被开方式子的正负．

[解]　原式＝

＝

＝.

又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，

∴原式＝＝cosα.

[变式]　若本例中式子变为：

(－π<α<0)，求化简后的式子．

[解]　原式＝

＝

＝＝.

因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，

所以原式＝＝cosα.

　化简问题中的“3变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．

[针对训练]

2．已知π<α<，化简：

＋.

[解]　原式＝＋

，

∵π<α<，∴<<.

∴cos<0，sin>0.

∴原式＝＋

＝－＋

＝－cos.

题型三  三角恒等式的证明

【典例3】　求证：＝.

[思路导引]　注意到＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.

[证明]　要证原式，可以证明

＝.

∵左边＝

＝

＝＝tan2θ，

右边＝＝tan2θ，

∴左边＝右边，∴原式得证．

证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

[针对训练]

3．求证：－2cos(α＋β)＝.

[证明]　因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα

＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα

＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα

＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα

＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，

两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.

课堂归纳小结

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．

2．对半角公式的三点认识

(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.

(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.

(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2＝，cos2＝求解．开方时需要注意角所在象限.

1．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，则tan的值为(　　)

A．2  B．－2  C.  D．－

[解析]　∵cosθ＝－，且180°<θ<270°

∴sinθ＝－＝－

∴tan＝＝＝－2.

[答案]　B

2．下列各式中，值为的是(　　)

A．sin15°cos15°   B．cos2－sin2

C.   D.

[解析]　选项A中，sin15°cos15°＝sin30°＝；选项B中，cos2－sin2＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan60°＝；选项D中，原式＝cos30°＝.故选B.

[答案]　B

3．若α∈，则化简的结果为(　　)

A．sin＋cos   B．sin－cos

C．－sin＋cos   D．－sin－cos

[解析]　＝

＝，

∵α∈，∴∈，∴sin>cos

∴原式＝sin－cos.故选B.

[答案]　B

4．已知tan＝3，则cosθ等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

[解析]　cosθ＝cos2－sin2＝

＝＝＝－.故选B.

[答案]　B

5．化简：··.

[解]　原式＝··

＝·＝·＝＝tan.

课后作业(五十二)

复习巩固

一、选择题

1．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于(　　)

A．－   B．－

C．－    D．－

[解析]　∵<<π，∴sin＝－

＝－，故选D.

[答案]　D

2．若α∈，则 － 等于(　　)

A．cosα－sinα   B．cosα＋sinα

C．－cosα＋sinα   D．－cosα－sinα

[解析]　原式＝ －

＝|cosα|－|sinα|

∵α∈，∴cosα>0，sinα<0，

∴原式＝cosα＋sinα.

[答案]　B

3．sin＝，则cos＝(　　)

A．－  B．－  C.  D.

[解析]　cos＝2cos2－1.

∵＋＝，

∴cos＝sin＝.

∴cos＝2×2－1＝－.故选A.

[答案]　A

4．化简＝(　　)

A．sin2α   B．cos2α

C．sinα   D．cosα

[解析]　∵4sin2tan

＝4cos2tan

＝4cossin

＝2sin

＝2cos2α，

∴原式＝＝＝sin2α.

[答案]　A

5．若cosα＝－，α是第三象限角，则的值为(　　)

A．－  B.  C．2  D．－2

[解析]　由cosα＝－，α是第三象限角，可得sinα＝－＝－.

所以＝＝＝

＝－.

[答案]　A

二、填空题

6．若tanx＝，则＝________.

[解析]　原式＝＝＝

＝＝2－3.

[答案]　2－3

7.＝__________.

[解析]　原式＝

＝

＝

＝＝－4.

[答案]　－4

8．若tanα＝2tan，则＝________.

[解析]　＝＝

＝＝

＝＝＝3.

[答案]　3

三、解答题

9．求证：＝.

[证明]　左边＝

＝

＝＝＝

＝＝右边．

∴原等式成立．

10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，0<α<β<π，求α－β的值．

[解]　因为(sinα＋sinβ)2＝2，

(cosα＋cosβ)2＝2，

以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，

所以cos(α－β)＝－，

又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，

所以α－β＝－.

综合运用

11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝(　　)

A.  B.  C．－  D．－

[解析]　sinα＋cosα＝，两边平方可得

1＋sin2α＝，可得sin2α＝－，

2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.

[答案]　C

12．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ等于(　　)

A.  B.  C.  D.

[解析]　因为θ∈，

所以2θ∈，

故cos2θ≤0，所以cos2θ＝－

＝－＝－.

又cos2θ＝1－2sin2θ，

所以sin2θ＝＝＝.

又θ∈，所以sinθ＝，故选D.

[答案]　D

13．设α为第四象限角，且＝，则tan2α＝________.

[解析]　∵α为第四象限的角，∴sinα<0，cosα>0

∵＝＝

＝2cos2α＋cos2α＝4cos2α－1＝

∴cosα＝，sinα＝－，tanα＝－，

∴tan2α＝＝－.

[答案]　－

14．化简tan70°cos10°(tan20°－1)＝__________.

[解析]　原式＝cos10°

＝2cos10°·

＝2·cos10°sin(20°－30°)·

＝2·sin(－10°)＝－＝－1

[答案]　－1

15．已知cos2θ＝，<θ<π，

(1)求tanθ的值．

(2)求的值．

[解]　(1)∵cos2θ＝，∴＝，

∴＝，解得tanθ＝±，

∵<θ<π，∴tanθ＝－.

(2)＝，

∴<θ<π，tanθ＝－，

∴sinθ＝，cosθ＝－，

∴＝＝＝－4.