高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时导学案
展开1.理解二倍角公式的推导.
2.掌握二倍角公式及变形公式,并能用这些公式解决相关问题.
二倍角公式
温馨提示:二倍角的“广义理解”
二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是eq \f(α,2)的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.( )
(3)对任意角α,总有tan2α=eq \f(2tanα,1-tan2α).( )
(4)cs2α-sin2α=1-2sin2α.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
题型一 给角求值
【典例1】 求下列各式的值:
(1)sineq \f(π,12)cseq \f(π,12);
(2)1-2sin2750°;
(3)eq \f(2tan150°,1-tan2150°);
(4)cs20°cs40°cs80°.
[思路导引] (1)逆用正弦的二倍角公式求解;(2)逆用二倍角余弦公式求解;(3)逆用二倍角正切公式求解;(4)需分子分母同乘2sin20°,凑正弦的二倍角公式求解.
[解] (1)原式=eq \f(2sin\f(π,12)cs\f(π,12),2)=eq \f(sin\f(π,6),2)=eq \f(1,4).
(2)原式=cs(2×750°)=cs1500°
=cs(4×360°+60°)=cs60°=eq \f(1,2).
(3)原式=tan(2×150°)=tan300°
=tan(360°-60°)=-tan60°=-eq \r(3).
(4)原式=eq \f(2sin20°·cs20°·cs40°·cs80°,2sin20°)
=eq \f(2sin40°·cs40°·cs80°,4sin20°)=eq \f(2sin80°·cs80°,8sin20°)
=eq \f(sin160°,8sin20°)=eq \f(1,8).
(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用.
(2)与公式不符,但是适当变形后就可套用公式的,要先变形化简再求值.
[针对训练]
1.求下列各式的值.
(1)sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)=________;
(2)eq \f(1,2)-cs215°=________;
(3)eq \f(1-tan215°,tan15°)=________.
[解析] (1)∵sineq \f(3π,8)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\f(π,8)))=cseq \f(π,8),
∴sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)=sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)=eq \f(1,2)·2sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)
=eq \f(1,2)sineq \f(π,4)=eq \f(\r(2),4).
(2)原式=eq \f(1,2)(1-2cs215°)=-eq \f(1,2)cs30°=-eq \f(\r(3),4).
(3)原式=eq \f(2,tan30°)=2eq \r(3).
[答案] (1)eq \f(\r(2),4) (2)-eq \f(\r(3),4) (3)2eq \r(3)
题型二 条件求值
【典例2】 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(3,5),eq \f(π,2)≤α
[解] ∵eq \f(π,2)≤α
=- eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)=-eq \f(4,5).
∴cs2α=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,2)))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))
=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))×eq \f(3,5)=-eq \f(24,25),
sin2α=-cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,2)))=1-2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))
=1-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2=eq \f(7,25).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2)cs2α-eq \f(\r(2),2)sin2α
=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(24,25)-\f(7,25)))=-eq \f(31\r(2),50).
[变式] 若本例条件不变,求eq \f(cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α)))的值.
[解] 原式=eq \f(cs2α-sin2α,sin\f(π,4)csα+cs\f(π,4)sinα)
=eq \r(2)(csα-sinα)=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(6,5).
解决条件求值问题的方法
解决条件求值问题,要注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
[针对训练]
2.已知eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4))))=-eq \f(2,3),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))的值是________.
[解析] 由eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4))))=eq \f(tanα,\f(tanα+1,1-tanα))=eq \f(tanα1-tanα,tanα+1)=
-eq \f(2,3),得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2,或tanα=-eq \f(1,3).
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))=sin2αcseq \f(π,4)+cs2αsineq \f(π,4)
=eq \f(\r(2),2)(sin2α+cs2α)=eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sinαcsα+cs2α-sin2α,sin2α+cs2α)))
=eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2tanα+1-tan2α,tan2α+1))),
当tanα=2时,上式=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2×2+1-22,22+1)))=eq \f(\r(2),10);
当tanα=-eq \f(1,3)时,上式
=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))+1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))2+1)))=eq \f(\r(2),10).
综上,sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))=eq \f(\r(2),10).
[答案] eq \f(\r(2),10)
题型三 化简问题
【典例3】 化简eq \f(2cs2α-1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α))).
[思路导引] 切化弦,统一角.
[解] 解法一:原式=eq \f(2cs2α-1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α)))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+α)))
=eq \f(2cs2α-1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α)))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α)))=eq \f(2cs2α-1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2α)))=eq \f(cs2α,cs2α)=1.
解法二:原式=eq \f(cs2α,2·\f(1-tanα,1+tanα)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinα+\f(\r(2),2)csα))2)
=eq \f(cs2α,\f(csα-sinα,csα+sinα)sinα+csα2)=eq \f(cs2α,csα-sinαcsα+sinα)
=eq \f(cs2α,cs2α-sin2α)=1.
化简的方法
(1)弦切互化,异名化同名,异角化同角.
(2)降幂或升幂.
(3)一个重要结论:(sinθ±csθ)2=1±sin2θ.
[针对训练]
3.化简:(1)eq \r(1+sin20°)+eq \r(1-sin20°);
(2)eq \f(1+sin4α+cs4α,1+sin4α-cs4α).
[解] (1)原式=
eq \r(sin210°+cs210°+2sin10°cs10°)+
eq \r(sin210°+cs210°-2sin10°cs10°)
=eq \r(sin10°+cs10°2)+eq \r(sin10°-cs10°2)
=|sin10°+cs10°|+|sin10°-cs10°|
=sin10°+cs10°+cs10°-sin10°
=2cs10°.
(2)原式=eq \f(1+2sin2αcs2α+2cs22α-1,1+2sin2αcs2α+2sin22α-1)
=eq \f(2cs22α+2cs2αsin2α,2sin22α+2sin2αcs2α)
=eq \f(2cs2αcs2α+sin2α,2sin2αsin2α+cs2α)=eq \f(1,tan2α).
课堂归纳小结
1.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式
1+cs2α=2cs2α,1-cs2α=2sin2α,
1+csα=2cs2eq \f(α,2),1-csα=2sin2eq \f(α,2).
(2)降幂公式
cs2α=eq \f(1+cs2α,2),sin2α=eq \f(1-cs2α,2).
2.要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin2x=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2x))=cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))))
=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))-1=1-2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x));
(2)cs2x=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2x))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))))
=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x));
(3)cs2x=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+2x))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+x))))
=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+x)).
1.sin15°sin75°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),4)
[解析] sin15°sin75°=sin15°cs15°=eq \f(1,2)×2sin15°cs15°=eq \f(1,2)sin30°=eq \f(1,4).
[答案] B
2.sin4eq \f(π,12)-cs4eq \f(π,12)等于( )
A.-eq \f(1,2) B.-eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)+cs2\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)-cs2\f(π,12)))
=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)-sin2\f(π,12)))=-cseq \f(π,6)=-eq \f(\r(3),2)
[答案] B
3.eq \f(2sin2α,1+cs2α)·eq \f(cs2α,cs2α)等于( )
A.tan2α B.tanα C.1 D.eq \f(1,2)
[解析] 原式=eq \f(4sinαcsα,1+2cs2α-1)·eq \f(cs2α,cs2α)
=eq \f(2sinαcsα,cs2α)=eq \f(sin2α,cs2α)=tan2α.
[答案] A
4.设α是第四象限角,已知sinα=-eq \f(3,5),则sin2α,cs2α和tan2α的值分别为( )
A.-eq \f(24,25),eq \f(7,25),-eq \f(24,7) B.eq \f(24,25),eq \f(7,25),eq \f(24,7)
C.-eq \f(24,25),-eq \f(7,25),eq \f(24,7) D.eq \f(24,25),-eq \f(7,25),-eq \f(24,7)
[解析] 因为α是第四象限角,且sinα=-eq \f(3,5),所以csα=eq \f(4,5),所以sin2α=2sinαcsα=-eq \f(24,25),cs2α=2cs2α-1=eq \f(7,25),tan2α=eq \f(sin2α,cs2α)=-eq \f(24,7).
[答案] A
5.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))=eq \f(\r(2),10),则sin2x=__________.
[解析] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))=eq \f(\r(2),10),∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))=eq \f(98,100)
而sin2x=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,2)))
=cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))-sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4)))
=eq \f(2,100)-eq \f(98,100)=-eq \f(96,100)=-eq \f(24,25).
[答案] -eq \f(24,25)
课后作业(五十一)
复习巩固
一、选择题
1.已知α是第三象限角,csα=-eq \f(5,13),则sin2α等于( )
A.-eq \f(12,13) B.eq \f(12,13) C.-eq \f(120,169) D.eq \f(120,169)
[解析] ∵csα=-eq \f(5,13),α是第三象限角,
∴sinα=-eq \r(1-cs2α)=-eq \f(12,13)(舍正)
因此,sin2α=2sinαcsα=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5,13)))=eq \f(120,169).
故选D.
[答案] D
2.cs275°+cs215°+cs75°cs15°的值等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D.1+eq \f(\r(3),4)
[解析] 原式=sin215°+cs215°+sin15°cs15°
=1+eq \f(1,2)sin30°=1+eq \f(1,4)=eq \f(5,4).
[答案] C
3.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),2sin2α=cs2α+1,则sinα=( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
[解析] ∵2sin2α=cs2α+1,∴4sinα·csα=2cs2α.∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴csα>0,sinα>0,∴2sinα=csα,又sin2α+cs2α=1,∴5sin2α=1,sin2α=eq \f(1,5),又sinα>0,∴sinα=eq \f(\r(5),5),故选B.
[答案] B
4.eq \r(1+cs100°)-eq \r(1-cs100°)=( )
A.-2cs5° B.2cs5°
C.-2sin5° D.2sin5°
[解析] 原式=eq \r(2cs250°)-eq \r(2sin250°)
=eq \r(2)(cs50°-sin50°)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs50°-\f(\r(2),2)sin50°))
=2sin(45°-50°)=-2sin5°.
[答案] C
5.若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(3,5),则sin2α等于( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(1,5) C.-eq \f(1,5) D.-eq \f(7,25)
[解析] 因为sin2α=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2α))=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))-1,又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-α))=eq \f(3,5),所以sin2α=2×eq \f(9,25)-1=-eq \f(7,25),故选D.
[答案] D
二、填空题
6.若sinα-csα=eq \f(1,3),则sin2α=________.
[解析] (sinα-csα)2=sin2α+cs2α-2sinαcsα=1-sin2α=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2⇒sin2α=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2=eq \f(8,9).
[答案] eq \f(8,9)
7.化简:eq \f(sin235°-\f(1,2),sin10°cs10°)=________.
[解析] 原式=eq \f(2sin235°-1,2sin10°cs10°)=-eq \f(cs70°,sin20°)
=eq \f(-cs70°,sin90°-70°)=-1.
[答案] -1
8.sin6°sin42°sin66°sin78°=________.
[解析] 原式=sin6°cs12°cs24°cs48°
=eq \f(sin6°cs6°cs12°cs24°cs48°,cs6°)
=eq \f(\f(1,2)sin12°cs12°cs24°cs48°,cs6°)
=eq \f(\f(1,4)sin24°cs24°cs48°,cs6°)=eq \f(\f(1,8)sin48°cs48°,cs6°)
=eq \f(\f(1,16)sin96°,cs6°)=eq \f(\f(1,16)cs6°,cs6°)=eq \f(1,16)
[答案] eq \f(1,16)
三、解答题
9.已知角α在第一象限且csα=eq \f(3,5),求eq \f(1+\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α-\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2))))的值.
[解] ∵csα=eq \f(3,5)且α在第一象限,∴sinα=eq \f(4,5).
∴cs2α=cs2α-sin2α=-eq \f(7,25),
sin2α=2sinαcsα=eq \f(24,25),
∴原式=eq \f(1+\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2αcs\f(π,4)+sin2αsin\f(π,4))),csα)
=eq \f(1+cs2α+sin2α,csα)=eq \f(14,5).
10.已知sineq \f(x,2)-2cseq \f(x,2)=0.
(1)求tanx的值;
(2)求eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)+x))sinπ+x)的值.
[解] (1)由sineq \f(x,2)-2cseq \f(x,2)=0,知cseq \f(x,2)≠0,
∴taneq \f(x,2)=2,
∴tanx=eq \f(2tan\f(x,2),1-tan2\f(x,2))=eq \f(2×2,1-22)=-eq \f(4,3).
(2)由(1),知tanx=-eq \f(4,3),
∴eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)+x))sinπ+x)=eq \f(cs2x,-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)+x))-sinx)
=eq \f(cs2x-sin2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csx-\f(\r(2),2)sinx))sinx)
=eq \f(csx-sinxcsx+sinx,\f(\r(2),2)csx-sinxsinx)
=eq \r(2)×eq \f(csx+sinx,sinx)=eq \r(2)×eq \f(1+tanx,tanx)=eq \f(\r(2),4).
综合运用
11.eq \f(sin65°cs25°+cs65°sin25°-tan222.5°,2tan22.5°)=( )
A.eq \f(1,2) B.1
C.eq \r(3) D.2
[解析] 原式=eq \f(sin90°-tan222.5°,2tan22.5°)=eq \f(1-tan222.5°,2tan22.5°)
=eq \f(1,tan45°)=1.
[答案] B
12.若tanα+eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))+2cseq \f(π,4)cs2α=________.
[解析] 由tanα+eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3),得tanα=eq \f(1,3)或tanα=3.
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),∴tanα=3.∴sinα=eq \f(3,\r(10)),csα=eq \f(1,\r(10)).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))+2cseq \f(π,4)cs2α
=sin2αcseq \f(π,4)+cs2αsineq \f(π,4)+2cseq \f(π,4)cs2α
=eq \f(\r(2),2)×2sinαcsα+eq \f(\r(2),2)(2cs2α-1)+eq \r(2)cs2α
=eq \r(2)sinαcsα+2eq \r(2)cs2α-eq \f(\r(2),2)
=eq \r(2)×eq \f(3,\r(10))×eq \f(1,\r(10))+2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(10))))2-eq \f(\r(2),2)
=eq \f(5\r(2),10)-eq \f(\r(2),2)=0.
[答案] 0
13.等腰三角形一个底角的余弦为eq \f(2,3),那么这个三角形顶角的正弦值为________.
[解析] 设A是等腰△ABC的顶角,则csB=eq \f(2,3),
sinB=eq \r(1-cs2B)=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)=eq \f(\r(5),3).
所以sinA=sin(180°-2B)=sin2B
=2sinBcsB=2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)=eq \f(4\r(5),9).
[答案] eq \f(4\r(5),9)
14.已知θ为锐角,cs(θ+15°)=eq \f(3,5),则cs(2θ-15°)=________.
[解析] ∵θ为锐角,cs(θ+15°)=eq \f(3,5),
∴sin(θ+15°)=eq \f(4,5),
∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cs(θ+15°)=eq \f(24,25),
cs(2θ+30°)=2cs2(θ+15°)-1=2×eq \f(9,25)-1=-eq \f(7,25).
∴cs(2θ-15°)=cs(2θ+30°-45°)
=cs(2θ+30°)cs45°+sin(2θ+30°)sin45°
=-eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)+eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)=eq \f(17\r(2),50).
[答案] eq \f(17\r(2),50)
15.已知0
=eq \f(1-csx,2)-eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)
=eq \f(1,2)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx+\f(1,2)csx))=eq \f(1,2)-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6))),
∴由已知得eq \f(1,2)-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))=-eq \f(1,10),
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6)))=eq \f(3,5).∵0
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))=eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6))),1-tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6))))=eq \f(2×\f(3,4),1-\f(9,16))=eq \f(24,7).
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