河南省开封市杞县新世纪中学2022-2023学年高三上学期开学联考理科数学试卷（Word版含答案）

2022——2023新世纪高三开学联考理科数学试卷

一、单选题(每题5分，共60分)

1. 已知集合与集合 B={1，2，3}，则A∩B=（    ）

A {1，2} B. {1，2，3} C. {1} D. {2}

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知向量＝(0,1,1)，＝(1，－2,1)．若向量＋与向量＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是(　　)

A.2      B.－2     C.10       D.－10

4.已知直线l过定点A(2,3,1)，且＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　)

A.       B.       C.       D.

5. 函数的图像可能是（    ）．

A.  B.

C.  D.

6. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. 若、，则

B. 若、，则

C. 若、，则

D. 若、，则

7. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图：

则下面结论中不正确的是（    ）

A 新农村建设后，种植收入略有增加

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C. 新农村建设后，养殖收入不变

D. 新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降

8. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（    ）

A. 直线与为异面直线

B. 平面

C. 三棱锥的表面积为

D. 三棱锥的体积为

9. 设为随机变量，且，若随机变量的数学期望，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

11.已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)

A.＋y2＝1     B.＋＝1     C.＋＝1      D.＋＝1

12. 已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，

那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（    ）

A. （-1，2） B. （1，4）

C. （-∞，1]∪[4，+∞） D. （-∞，-1]∪[2，+∞）

二、填空题(每题5分，共20分)

13. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有人，二年级有人，三年级有人.现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了人，则这个样本中共有___________人.

14. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则___________.

15. 已知，则的最大值是_________

16.已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.

18.(12分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．

(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；

(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．

19.(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．

20.(12分)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝.

(1)求证：EF∥平面ADD1A1；(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；

(3)在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21.(12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE­BCF和一个正四棱锥P­ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.

(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；

(2)求正四棱锥P­ABCD的高h，使得二面角C­AF­P的余弦值是.

22.(12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，离心率e＝，O为坐标原点，圆O：x2＋y2＝与直线AB相切．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1·k2是不是定值？证明你的结论．

参考答案：

CBAAD  BCDBC  BD

13     14     

 【14题答案】

【答案】

15【答案】##

 16.答案：　

一、解答题

17.解：线段AB的中点为(1,3)，kAB＝＝－，

∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.

由得(0,1)为所求圆的圆心．

由两点间距离公式得圆半径r为＝，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

18.解：(1)取PC的中点E，连接NE(图略)，则

＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝.

(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，

而||2＝＝＋＋＝＋＋＝，

所以||＝.故MN的长为.

19.解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

因为焦距为2，所以c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，

则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝2得x1＝－2x2.

又所以消去x2，得＝，解得k2＝，k＝±.

所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

20.证明：(1)连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO.

因为F是A1C的中点，所以OF∥CD，OF＝CD．

因为AE∥CD，AE＝CD，所以OF∥AE，OF＝AE.所以四边形AEFO是平行四边形．

所以EF∥AO.

因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1.

解：(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝，

所以B(，0,0)，D(0,2,0)，E，F.

所以＝，＝(0,1,1)．

设平面EFD的法向量为n＝(x，y，z)，则即

令y＝1，则z＝－1，x＝2.所以n＝(2，1，－1)．

由题知，平面DEC的一个法向量为m＝(0,0,1)，所以cos〈n，m〉＝＝－.

所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是.

(3)假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD．

设点M的坐标为(0，t,2)(0≤t≤2)，则＝(－，t,2)．

因为平面EFD的一个法向量为n＝(2，1，－1)，而与n不平行，

所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD．

21.(1)证明：在直三棱柱ADE­BCF中，AB⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD．

又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AB⊂平面ABFE，AF⊂平面ABFE，所以AD⊥平面ABFE.

因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.

(2)解：由(1)知AD⊥平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h,1)，＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(1，－h,1)．

设平面AFC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则取x1＝1，则y1＝z1＝－1，所以m＝(1，－1，－1)．

设平面AFP的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则

取x2＝1，则y2＝－1，z2＝－1－h，所以n＝(1，－1，－1－h)．

因为二面角C­AF­P的余弦值为，

所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得h＝1或h＝－(舍)，

所以正四棱锥P­ABCD的高h＝1.

22.解：(1)直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，

由圆O与直线AB相切，得＝，即＝，①

设椭圆的半焦距为c，则e＝＝，∴＝1－e2＝，②

由①②得a2＝4，b2＝1.故椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)k1·k2＝，为定值，证明过程如下：

由(1)得直线AB的方程为y＝－x＋1，

故可设直线DC的方程为y＝－x＋m，显然m≠±1.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，

则Δ＝8－4m2>0，解得－<m<，且m≠±1，∴x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2.

由k1＝，k2＝，

得k1k2＝·＝·＝

＝＝＝.