辽宁省鞍山市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题（Word版含答案）

鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第一次质量监测

数  学

考试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果，那么在复平面内，复数z所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的单调减区间是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

6．如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（    ）

A． B． C． D．

8．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，经常应用于高中数学竞赛，主要用来处理分式不等式，其表述如下：设a，b，x，，则，当且仅当时等号成立．利用权方和不等式可以比较容易得出，函数的最小值为（    ）

A．16 B．25 C．36 D．49

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设函数在处的导数存在，则（    ）

A． B．

C． D．

10．当下新能源汽车备受关注，某校“组冲之”社团（借助数学家“祖冲之”命名）对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（    ）

A．25 B．45 C．60 D．40

附：

11．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P的轨迹为C，则（    ）

A．C的周长为

B．OP（O，P不重合时）平分

C．面积的最大值为6

D．当时，直线BP与轨迹C相切

12．已知函数x，为的导函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，在单调递增

B．当时，在处的切线方程为

C．当时，在上至少有一个零点

D．当时，在上不单调

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数为__________．

14．的值为__________．

15．据临床记录，某种诊断病症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有病症”，则有，．现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有病症的概率为0.01，即，则__________．

16．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知等差数列满足首项为的值，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求角B；

（2）若，的面积为，求的周长．

19．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点．

（1）求与平面AEF所成角的正弦值；

（2）过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线：

①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；

②求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度．

20．（本小题满分12分）

北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响．

（1）求乙闯关成功的概率；

（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．

（1）求动点P的轨迹方程，并注明x的范围;

（2）设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求k的取值范围．

鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第一次质量监测

数学参考答案

一、单项选择题

1—5DDACA 6—8BDB

二、多项选择题

9．BC 10．BC 11．ABD 12．ABD

三、填空题

13． 14．1 15． 16．2

四、解答题

17．（1）首项，

因为数列是等差数列，设公差，可得解，，所以．

（2）由（1）可得，

所以．

18．（1）∵，

∴，∴．

由正弦定理，∴，．

∴，∵，∴．

（2）∵的面积为，∵，得，

∵，∴，∵，∴，∴，

由余弦定理可得，∵，∴，

∴三角形的周长为．

19．

（1）取AC中点O连接OB，OF．因为正三棱柱，F为的中点，

所以OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，OA，OB，OF为x，y，z轴正方向建系，如图所示，

所以，，，，

所以，，，

设平面AEF的法向量，则，即，

令，则，，所以，

设与平面AEF所成角为，则，

所以与平面AEF所成角的正弦值为．

（2）①基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

②延长交延长线于点M，连接FM且．则FP即为所求．

在中，P为重心，∴．

由余弦定理可得：，∴．

（解决方法不唯一，酌情处理）

20．（1）记乙闯关成功为事件A，．

（2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，

，，，，

故X的分布列为

所以．

所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大．

21．（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为

设点P的坐标为，由题意得，化简得

故动点P的轨迹方程为；

（2）若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，

则

因为，所以，所以

即，解得，因为，所以，

故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为．

22．（1）函数的定义域为，由，得，

当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，

当时，由，得，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有极大值点，无极小值点，综上，当时，无极值点，

当时，有极大值点，无极小值点．

（2）因为恒成立，即恒成立，

所以对恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，因为，，

所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，即，

两边取对数可得，即，

因为函数在上单调递增，所以，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，所以k的取值范围为．