福建省福州市第十中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检查数学试题（含答案）

福州十中2021-2022学年高三上第一次质量检查

数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合（    ）

 A． B． C． D．

2．复数（    ）

 A． B． C． D．

3．设，则（    ）

 A． B． C． D．

4．是第四象限角，，则（    ）

 A． B． C． D．

5．函数的大致图象是（    ）

6．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（    ）

 A． B． C． D．

7．设为正实数，则的最小值为（    ）

 A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知函数,若，则实数的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知函数在上是减函数，则下列表述正确的是（    ） 

 A．

 B．的单调递减区间为

 C．的最大值是

 D．的最小正周期为

10．下列函数中是奇函数，且值域为的为（    ）

 A． B． C． D．

11．下列有关说法正确的是（    ）

 A．的展开式中含项的二项式系数为20

 B．事件为必然事件，则事件A、B是互为对立事件

 C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为

 D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则

12．函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ）

 A．函数为奇函数

 B．函数有且只有3个零点

 C．不等式的解集为

 D．的解析式可能为

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．已知，那么__________．

14．若,则的值为__________．

15．已知函数，则__________，的零点个数为__________个．

16．已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．

四、解答题：本大题共有6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

 在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C，所对的边，且

 （1）确定角C的大小；

    （2）若，且△ABC的面积为，求的值．

18．（12分）

 盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用，

 （1）从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率；

 （2）从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为,求的分布列和数学期望。

19．（12分）

 如图，在三角形中，已知，，D为的三等分点(靠近点B)，且.

 （1）求的值；

 （2）求三角形的面积.

20．（12分）

 为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天值（从气象部门获取）构成60组成对数据，其中为当天参加户外健身运动的人数，为当天的值，并制作了如下散点图：

连续60天参加健身运动人数与AQI散点图

（1）环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为，试分析y与x的线性相关关系？

（2）环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线与将散点图分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于？   附：

21．（12分）

 已知函数．

（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；

（2）设的内角的对应边分别是且，，求c边。

22．（12分）

 已知函数，其中．

 （1）讨论函数的单调区间；

 （2）若函数有两个极值点，且，是否存在实数使得恒成立，如果存在，请求出实数的取值范围，如果不存在，请说明理由．

福州十中2021-2022学年高三数学开门考

参考答案

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、填空题：

 13．； 14．；

 15．；； 16．．

四、解答题：

17．（10分）

解（1）由及正弦定理得，     

是锐角三角形，    …………5分

（2）解法1：由面积公式得

由余弦定理得    

由②变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

消去b并整理得解得

所以故   …………10分  

18．（12分）

（1）记事件A为“抽取到3个零件中恰有一个是使用过的”，则

(2)依题有

所以X的分布列如下

所以X的期望是

19．（12分）

【详解】

（1）在三角形中，由正弦定理得，，①

在三角形中，由正弦定理得，，②

又，故，

因为D为的三等分点(靠点B)，所以，

由①②得，.

（2）由（1）知，，

所以，

若，则

(舍去)；

故，同理，得，

所以，三角形的面积

.

所以的面积为.

20．（12分）

【详解】

（1），y与x的相关关系为负相关，

且，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，

得到回归方程，拟合效果也会不理想

（2）建立2×2列联表如下

代入公式计算得,查表知，故犯错率在0.001与0.01之间，

所以该初步认定的犯错率小于．

21．（12分）

（1）时，取得最大值0；时，取得最小值；（2）或．

【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求;

(2)已知先求A,然后结合余弦定理即可求解c.

【详解】（1）

，

，，，

∴当，即，得时，取得最大值0；

当，即，得时，取得最小值．

（2）且，．

由余弦定理A得，解得或．

另解：且，，

由正弦定理有，则或，

当时．，由勾股定理有．

当时，，则．综上，或．

22．（12分）

（1）；（2）分布列答案见解析.

【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.

（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列.

【详解】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，

.

（2）的所有可能取值为1，2，3，

，

，

，

故的概率分布为：