第三章圆锥曲线的方程：参数法求轨迹方程 学案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《圆锥曲线》专题37－1    参数法求轨迹方程

 （2套，2页，含答案） 

知识点：

典型例题：

1. 如图，F（2，0）为一定点，过F作任意直线交y轴于Q，作QT⊥FQ，
   交x轴于T，弦长TQ至P，使|TQ|＝|QP|，求点P的轨迹方程。（[i]）
    

2. 动直线y＝a与抛物线相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），
   则线段AB中点M的轨迹方程为        [ii]     

3. （中下）已知A、B两点分别在x轴、y轴上运动，线段AB长度为2，求AB中点M的轨迹方程。（[iii]）

随堂练习：

1. 设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且。当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；（[iv]）

2. 已知点F是椭圆的右焦点，点、分别是x轴、y轴上的动点，
   且满足．若点P满足．求点P的轨迹C的方程；（[v]）

3. （中下）已知A、B两点分别在x轴、y轴上运动，线段AB长度为3，M在线段AB上，且BM＝2MA，求M的轨迹方程。（[vi]）

《圆锥曲线》专题37－2    参数法求轨迹方程

1. 过点P1(1，5)作一条直线交x轴于点A，过点P2(2，7)作直线P1A的垂线，交y轴于点B，
   点M在线段AB上，且BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．[vii]

2. 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（[viii]）

3. 已知A、B两点分别在x轴、y轴上运动，线段AB长度为6，M在线段AB上，且2BM＝MA，
   求M的轨迹方程。（[ix]）

答案：； ； ； 答案：； ； ；

答案：12x＋15y－74＝0； 答案：（）； 答案：；
 

[i] 答案：；

解法二：参数法

[ii] 答案：；

[iii] 答案：；

[iv] 答案：；
【解析】（1）∵，故P为MN中点，  又∵，P在y轴上，F为（1，0），

    故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（－x，0），P（0，），（x＞0），

    ∴，    又∵，

    即      ∴

[v] 答案：；

解析：（Ⅰ）椭圆右焦点的坐标为，

．[…………[…………[…………………………………………………1分

，由，得．  …………………3分

设点的坐标为，由，有，

代入，得．           …………………………5分

（Ⅱ）（法一）设直线的方程为，、，

则，．                ………………………………6分

由，得， 同理得．…………………………8分

，，则．  ………9分

由，得，．   ………………10分

则．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值为．         …………………………………12分
 

 （法二）①当时， 、，则，   ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

．  …………………………7分

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．   ………………………9分

由，得，．……………………10分

则．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值为．    ………………………12分

[vi] 答案：；

[vii] 答案：12x＋15y－74＝0；

解析：　如图所示，

设过P2的直线方程为y－7＝k(x－2)(k≠0)，则过P1的直线方程为y－5＝－(x－1)，

所以A(5k＋1，0)，B(0，－2k＋7)．①

设M(x，y)，则由BM∶MA＝1∶2，

得②

消去k，整理得12x＋15y－74＝0.

故点M的轨迹方程为12x＋15y－74＝0.③

[viii] 答案：（）
解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，

∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.

[ix] 答案：；