微专题　导数中参数分离问题讲义--高三数学二轮专题复习

参数分离法

参数分离方法是函数与导数中一种非常重要的技巧，它的出现意味着我们可以避免繁杂的分类讨论，因为含参分类讨论从高一到最后一直都是很多学生无法逾越的鸿沟！当然，分离参数也并非万能的，一方面分参意味着不含参数的函数可能异常复杂，讨论起来有点麻烦，甚至需要极限（洛必达法则），另一方面则是因为像恒成立问题分参，需要讨论正负号这些学生很容易忽视！不过，个人觉得分参是处理含参问题的一把利器，它确实要比分类讨论操作起来容易一些，我们应该多加练习力求掌握.

一．基本原理

1.零比零（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于零.

若函数和满足下列条件：

（1）；

（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；

（3）且(可为实数，也可为)，那么：

                .

2.无穷比无穷（）型，即趋向于某数时，分子、分母趋向于无穷.

若函数和满足下列条件：

（1）；

（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；

（3）且(可为实数，也可为)，那么：

                .

二．典例分析

1.分离参数法解决恒成立问题

例1.（2020全国1卷）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

解析（2）当时，恒成立，当时，恒成立分离参数之后等价于，求导可得：，一方面由于（易证，略），故，代入得：.

习题1.已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

解析：，即.由于对任意恒成立，

所以，即.令，，.令，，

所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.所以. 又，所以.

故选：B.

2.分离参数法解决零点问题

例2.（2022乙卷）已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.

注：这道题目分参过后就引入了洛必达法则，其难度很大！

习题2．（2018全国2卷改编）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

解析：令，显然，所以，

令（），则问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.，令，解得，当或时，，在，单调递增，当时，，在单调递减，

在处取极小值，作出的简图，由图可知，要使直线与曲线有三个交点，则，故实数的取值范围是.故选：C.

3.参变办分离（分离直线）

在利用分离参数时，我们可以使用参变半分，即分离直线的形式来处理.

例3．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

解析：设，，

由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

，当时，；当时，.

所以，函数的最小值为.

又，.

直线恒过定点且斜率为，

故且，解得，故选D.

三．习题演练

习题1．已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，若点，分别在，的图象上，则当取最大值时，的最小值是（    ）

A． B． C． D．

解析：由题可知，曲线与有公共点，即方程有实数解，即有实数解，令，则，所以当时，；当时，，故时，取得极大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值为，

此时，设直线与函数的图象相切于点，如图，因为，所以，所以，解得，所以切线方程为，易求得平行线与

之间的距离为，即的最小值为.

习题2. 已知函数.，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围.

解析：.

在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根.

令，，则.

令，，则，

显然在上恒成立，故在上单调递增.

因为，所以当时，有，即，所以单调递减；

当时，有，即，所以单调递增.

因为，，，

所以的取值范围是.

习题3. 已知函数若当时，不等式恒成立，求的取值范围

解析：由题意可知当时，恒成立，此时

当时，，设，

设，此时

，此时

恒成立，恒成立

在上单调递增

但是当时，型，用洛必达法则；

根据洛必达法则可知

所以的取值范围是

习题4.已知在上恒成立，求的取值范围

解析：当时，恒成立，此时，当时，

设

设，此时单调递增，且

在上恒增又时，型，所以使用洛必达法则

根据洛必达法则，可得所以的取值范围是