高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试导学案及答案

阶段回顾(第1～4节) 

易错点一　　　对开普勒第三定律＝k中的k理解不透彻

1．理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用。对开普勒第三定律＝k的理解，下列说法正确的是(　　)

A．开普勒第三定律只适用于轨道是椭圆的运动

B．式中的k值，对于所有行星(或卫星)都相等

C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关

D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离

答案　C

解析　行星和卫星的运动轨道可以近似看为圆，开普勒第三定律＝k也适用，故A错误；比例系数k是一个由中心天体决定而与环绕星体无关的常量，但不是恒量，不同的星系中，k值不同，故B错误，C正确；月球绕地球转动的k值与地球绕太阳转动的k值不同，故D错误。

易错点二　　　不理解物体相对地面静止与近地环绕的区别

2．(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，测出了环中各层的线速度v与该层至行星中心的距离r，则(　　)

A．若v与r成正比，则环是连续物

B．若v与r成反比，则环是连续物

C．若v2与r成正比，则环是卫星群

D．若v2与r成反比，则环是卫星群

答案　AD

解析　因卫星绕行星运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m，可得v2＝，即v2与r成反比，故D正确；若环是连续物，则环中各层转动的角速度相等，有v＝ωr，即v与r成正比，故A正确。

易错点三　　　对人造卫星的运行规律理解不到位

3．(多选)假如做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，仍做圆周运动，则(　　)

A．根据公式v＝ωr可知，卫星运动的线速度将增大到原来的2倍

B．根据公式F＝可知，卫星所需的向心力将减小到原来的

C．根据公式F＝G可知，地球提供的向心力将减小到原来的

D．根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的

答案　CD

解析　人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有G＝，得 v＝ ，则离地球越远的卫星运行速度越小，当轨道半径增加到原来的2倍时，引力即向心力变为原来的，速度变为原来的，B错误，C、D正确；由于ω＝，所以对于公式v＝ωr，当r增加到原来的2倍时，ω并不是恒量，所以A错误。

4．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有(　　)

A．a的向心加速度等于重力加速度g

B．c在4 h内转过的圆心角是

C．b在相同时间内转过的弧长最长

D．d的运动周期有可能是23 h

答案　C

解析　同步卫星c的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度比a的大，由＝ma，得a＝，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是，故B错误；由＝m，得v＝ ，卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确；由开普勒第三定律＝k知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。

5．(多选)如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中，正确的是(　　)

A．角速度的大小关系为ωb>ωc＝ωa

B．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac

C．线速度的大小关系为vb>vc>va

D．周期关系为Ta＝Tc>Tb

答案　ACD

解析　对b、c，根据万有引力提供向心力有：G＝m＝m2r＝ma＝mrω2，解得T＝，ω＝，v＝，a＝，因为c的轨道半径大于b，则ab＞ac，vb＞vc，ωb＞ωc，Tc＞Tb。对a、c，角速度相等，即ωa＝ωc，根据T＝知，Ta＝Tc，根据v＝rω知，c的半径大，则vc＞va，根据a＝rω2知，c的半径大，则ac＞aa。所以角速度的大小关系为ωb＞ωc＝ωa，故A正确；向心加速度的大小关系为ab＞ac＞aa，故B错误；线速度大小关系为vb＞vc＞va，故C正确；周期的关系为Ta＝Tc＞Tb，故D正确。

6．两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：

(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？

(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

答案　(1)∶4　(2)或

解析　(1)由题意可知a卫星的轨道半径ra＝R＋R＝2R，

b卫星的轨道半径rb＝R＋3R＝4R，

根据开普勒第三定律得＝，

所以＝ ，代入数值计算可得＝。

(2)设经过时间t两卫星相距最远，分为两种情况：

①如果两卫星同方向转动，则a卫星比b卫星多转半圈，

t－t＝π，得出t＝，

a卫星经过的周期个数为n＝＝，

代入数值计算得n＝个；

②如果两卫星反方向转动，则两卫星共同转过半圆时相距最远，即t＋t＝π，得出t＝，

a卫星经过的周期个数为n＝＝，

代入数值计算得n＝个。

综上，a至少经过或个周期两卫星相距最远。

易错点四　　　对卫星变轨时各物理量的变化理解不到位

7. (多选)如图所示是某次同步卫星发射过程的示意图，先将卫星送入一个近地圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆转移轨道，其中P是近地点，Q是远地点，在Q点再次点火加速进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道的运行速率为v1，加速度大小为a1；在P点短时间点火加速之后，速率为v2，加速度大小为a2；沿转移轨道刚到达Q点速率为v3，加速度大小为a3；在Q点点火加速之后进入圆轨道，速率为v4，加速度大小为a4，则(　　)

A．v1＝v2　a1<a2   B．v1<v2　a1＝a2

C．v3<v4　a3＝a4   D．v3<v4　a3<a4

答案　BC

解析　卫星在近地圆轨道上P点加速前后所受到的万有引力大小保持不变，由G＝ma可知a1＝a2，在P点短时间点火加速之后卫星的速率增大，故v1<v2，所以A错误，B正确；卫星在Q点点火加速，故v3<v4，从Q点进入圆轨道后卫星离地面的高度将保持不变，由G＝ma可知a3＝a4，所以C正确，D错误。

8. (多选)我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，探测器从地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点。下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是(　　)

A．发射速度一定大于7.9 km/s

B．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大

C．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度

D．在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度

答案　ABC

解析　“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于第一宇宙速度，即7.9 km/s，A正确；“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大，B正确；“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上变轨到轨道Ⅱ上要在P点减速，故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，C正确；“嫦娥三号”变轨前后在P处时所受万有引力不变，故其在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P的加速度，D错误。

重难点一　　　万有引力定律的理解和应用

1．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看成均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比(　　)

①地球与月球间的万有引力将变大　②地球与月球间的万有引力将变小　③月球绕地球运动的周期将变长

④月球绕地球运动的周期将变短

A．①③   B．②③ 

C．②④   D．①④

答案　C

解析　设地球与月球的质量分别为M、m，由万有引力定律知F＝G，m＋M＝M0(常数)，根据数学知识可知，当m＝M时其积最大，本题中原来m＜M，现进一步增大M，减小m，结果F进一步偏离最大值，即F将变小；又由G＝mr·，得T＝2π ，可见地球质量M变大后，月球环绕周期将变短，故②④正确，选C。

2．一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　由N＝mg得g＝，在行星表面G＝mg，卫星在行星表面附近绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝m′，联立以上各式得M＝，故B正确。

3．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r处的重力加速度大小可能为如下图像中的哪一个(　　)

答案　A

解析　设地球的密度为ρ，当物体处于地心时，所受万有引力为零，重力加速度为零；当距地心距离为r＜R时，只有半径为r的球体对其产生万有引力，根据G＝mg得G＝mg，解得g＝，即重力加速度g与r成正比，由此可判断B、D错误；当r＞R时，由G＝mg得g＝，重力加速度g与r的平方成反比，故A正确，C错误。

4．如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为2R，如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在距离为d的地方，则两球之间的万有引力是多大(引力常量为G)?

答案　

解析　设挖去的球质量为m，根据割补法可得，若将大球挖去部分用同种材料补上，两球间万有引力F＝

补上的球体对小球的万有引力F1＝

被挖掉的球质量m＝

则被挖后两球之间的万有引力F2＝F－F1＝。

5．如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果通过球心挖去一个直径为R的小实心球，然后置于相距为d的地方，试计算空心球与小实心球之间的万有引力。

答案　－

解析　实心球挖去一个半径为的小实心球后，质量分布不均匀。因此挖去小实心球剩余的部分，不能看成质量集中于球心的质点，直接求空心球和小实心球之间的万有引力很困难。

假设用与挖去的小实心球完全相同的球填补挖去的位置，则空心球变成一个实心球，可看作质量集中于球心的质点，则大、小实心球之间的万有引力为：F＝G

小实心球的质量为m＝ρ·π3＝ρ·πR3＝M

代入上式得F＝G

填入的小实心球与挖去的小实心球之间的万有引力为

F1＝G＝·＝

设空心球与小实心球之间的万有引力为F2，则有F＝F1＋F2因此，空心球与小实心球之间的万有引力为

F2＝F－F1＝－。

重难点二　　　天体质量和密度的计算

6．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ。代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝，A正确。

7．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度为(　　)

A．1.8×103 kg/m3   B．5.6×103 kg/m3

C．1.1×104 kg/m3   D．2.9×104 kg/m3

答案　D

解析　近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，有G＝m2R，解得M＝，质量M＝ρ·πR3，则地球的密度ρ地＝，因为该行星质量是地球的25倍，体积是地球的4.7倍，则ρ行＝＝ρ地≈2.9×104 kg/m3，故选D。

8．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R′∶R＝1∶4，设地球质量为M，表面重力加速度为g，该星球质量为M′，表面的重力加速度为g′，不计空气阻力。则(　　)

A．g′∶g＝1∶5   B．g′∶g＝5∶3

C．M′∶M＝1∶80   D．M′∶M＝1∶30

答案　AC

解析　竖直上抛的小球运动时间t＝，5t＝，因而得＝＝，故A正确，B错误；由＝mg得M＝，同理得M′＝，因而＝＝×2＝，故C正确，D错误。

9．(多选)假设公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，又测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则(　　)

A．木星的质量M＝

B．木星的质量M＝

C．木星的质量M＝

D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度

答案　AD

解析　由题设可知，航天器在木星的同步轨道上，距木星表面的高度为h＝，航天器的运动周期为T，线速度为v，则航天器的轨道半径r＝，对航天器有G＝m，联立得木星的质量M＝，A正确，B、C错误；由以上分析可知，木星的半径R＝r－h可求出，故木星的密度可求出，D正确。

10．已知引力常量G，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据求出月球密度的是(　　)

A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t

B．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T

C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T

D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T

答案　B

解析　根据选项A的条件，可求出月球上的重力加速度g，由g＝可以求出月球质量和月球半径的平方之比，＝，无法求出月球密度，A错误；根据选项B的条件，由＝m2R，可求出月球质量和月球半径的立方之比＝，而月球密度为ρ＝＝＝，B正确；根据选项C的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，C错误；根据选项D的条件，由＝m2(R＋H)，可求出＝，虽然知道H的大小，但仍然无法求出月球质量和月球半径的立方之比，故D错误。

11．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是T，在行星的赤道处用弹簧秤测量物体重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量为G，求此行星的平均密度。

答案　

解析　设行星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，物体的质量为m。

物体在赤道上的重力比两极小10%，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为Fn＝ΔF＝0.1F引。

而一昼夜的时间T就是行星的自转周期。

根据牛顿第二定律，有0.1×＝m2R，

可得M＝，

根据ρ＝可得行星的平均密度为ρ＝。

重难点三　　　人造卫星运行规律的理解和应用

12. (多选)2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家。如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的(　　)

A．线速度大于地球的线速度

B．向心加速度大于地球的向心加速度

C．向心力仅由太阳的引力提供

D．向心力仅由地球的引力提供

答案　AB

解析　飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，根据v＝rω，知飞行器的线速度大于地球的线速度，故A正确；根据a＝rω2知，飞行器的向心加速度大于地球的向心加速度，故B正确；飞行器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故C、D错误。

13．(多选)在航天领域中，悬绳卫星是一种新兴技术，它要求两颗卫星都在圆周轨道上运动，且两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，如图所示。已知悬绳的长度为L，其重力不计，卫星A、B的线速度分别为v1、v2，则下列说法正确的是(　　)

A．两颗卫星的角速度相同

B．两颗卫星的线速度满足v1>v2

C．两颗卫星之间的悬绳一定受到拉力的作用

D．假设在B卫星轨道上还有一颗卫星C(图中没有画出)，它们在同一平面内同向运动，运动一段时间后B、C可能相碰

答案　ACD

解析　根据题意知，两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，都绕地心做匀速圆周运动，角速度必定相同，由v＝rω，v∝r，所以v1＜v2，故A正确，B错误；假设悬绳没有作用力，两颗卫星均由万有引力提供向心力，根据G＝mω2r知，ω＝ ，A卫星的角速度大于B卫星的角速度，所以悬绳一定受到拉力的作用，故C正确；设悬绳的拉力大小为F，则对B卫星：G＋F＝mB，则得vB＞ ，对C卫星：G＝mC，则得vC＝ ，可见两颗卫星的速度不等，所以在同一轨道上同向运动，运动一段时间后B、C可能相碰，故D正确。

14．如图所示，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，已知甲卫星的周期为N小时，每过9N小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　由·9N h＝2π，T1＝N h，解得：＝。根据开普勒第三定律，＝ ＝，线速度v＝，则＝·＝×＝，A正确。

15．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间。

答案　或

解析　用ω表示航天飞机的角速度，用m、M分别表示航天飞机及地球的质量，则有＝mrω2

航天飞机在地面上时，有G＝mg

联立解得ω＝

若ω>ω0，即航天飞机高度低于同步卫星高度，用t1表示所需时间，则ωt1－ω0t1＝2π

所以t1＝＝

若ω<ω0，即航天飞机高度高于同步卫星高度，用t2表示所需时间，则ω0t2－ωt2＝2π

所以t2＝＝。