数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课堂教学课件ppt

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1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一　空间向量的坐标运算
问题导学 　　　　
思考　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？
答案　m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.
梳理　(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
类型一　空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
解　如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上.∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0).
建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.
类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.
跟踪训练2　在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
证明　如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0 )，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，
类型三　空间向量的夹角与长度的计算
解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
跟踪训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
解　∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
在Rt△POB中，∠PBO＝60°，
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解　如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
当堂训练 　　　　
1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)A.(16,0,4) B.(8，－16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4)
解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).
2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(　　)A.4 B.15 C.3 D.7
解析　∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
3.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)A.(1,1,1) B.(－4,6，－2) C.(2，－3,5) D.(－2，－3,5)
解析　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
解析　依题意(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
6.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝___.
解析　∵(a＋b)·c＝(－2,1,3＋x)·(1，－x,2)＝x＋4＝0，∴x＝－4.
(3)空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.