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专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（无答案）
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专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7597" 【题型1 求字母的取值范围】 PAGEREF _Toc7597 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc30159" 【题型2 二次根式乘除的运算】 PAGEREF _Toc30159 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc30502" 【题型3 二次根式的符号化简】 PAGEREF _Toc30502 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26588" 【题型4 最简二次根式的判断】 PAGEREF _Toc26588 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16820" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Toc16820 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20913" 【题型6 已知最简二次根式求参数】 PAGEREF _Toc20913 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9440" 【题型7 分母有理化】 PAGEREF _Toc9440 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20176" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Toc20176 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8121" 【题型9 分母有理化的应用】 PAGEREF _Toc8121 \h 5【知识点1 二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).【题型1 求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则x的取值范围是 ．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是 ．【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2x成立的x的取值范围是（ ）A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则x的取值范围是 ．【题型2 二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•354；（2）2112÷516⋅12．【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷166m•8m3．【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy3÷(−415yx)⋅(−56x3y)（x＞0）．【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab3(−32a3b)÷3ab（b＜0）．【题型3 二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2根号外的因式x移到根号内的正确结果为（ ）A．y B．−y C．−y D．−−y【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−1a3根号外的因式移到根号内为（ ）A．−1a B．1a C．−1a D．−−1a【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2根号外的因式移到根号内，得（ ）A．x−2 B．2−x C．﹣22−x D．−x−2【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为 ．【知识点2 最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4 最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6中，最简二次根式是 ．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A．48 B．14 C．ab D．4a+4【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是 （填序号）．【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2中，是最简二次根式的共有 个．【题型5 化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）A．2 B．58 C．28 D．12【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3100（2）32（3）4x33【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275132−12227；（2）−abc2c32a4b．【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是 ．【题型6 已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（ ）A．﹣4 B．32 C．2 D．8【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝ ，n＝ ．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝ ．【知识点3 分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7 分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）A．4b B．2b C．12b D．b2b【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132= ；（2）112= ；（3）1025= ．【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ）A．a+b和a−b B．−a和a C．5−2和−5+2 D．xa+yb和xa+yb【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2−3+52+3+5【题型8 比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1a，则a、b大小关系是（ ）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15−2，b＝2+5，则a，b的关系是（ ）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，25的大小关系是（ ）A．25＜25＜25 B．25＜25＜25 C．25＜25＜25 D．25＜25＜25【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小比较a+1a+2与a+2a+3的大小．【题型9 分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．（2）计算：①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x=4+7−4−7，再两边平方得x2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x＞0，解得x=2，4+7−4−7=2，根据以上方法，化简6−36+3+8+43−8−43的结果是（ ）A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12=1⋅22⋅2=2(2)2=22，（1）将12+1分母有理化可得 ；（2）关于x的方程3x−12=11+3+13+5+15+7+⋯+197+99 的解是 ．【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=b，则将a±2b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得a±2b化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26=(3±2)2=3±2；材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533（一）；23=2×33×3=63（二）；23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1还可以用以下方法化简：23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22= ；4+23= ．（2）化简：23+1+25+3+27+5+⋯+22n+1+2n−1．
专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7597" 【题型1 求字母的取值范围】 PAGEREF _Toc7597 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc30159" 【题型2 二次根式乘除的运算】 PAGEREF _Toc30159 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc30502" 【题型3 二次根式的符号化简】 PAGEREF _Toc30502 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26588" 【题型4 最简二次根式的判断】 PAGEREF _Toc26588 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16820" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Toc16820 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20913" 【题型6 已知最简二次根式求参数】 PAGEREF _Toc20913 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9440" 【题型7 分母有理化】 PAGEREF _Toc9440 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20176" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Toc20176 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8121" 【题型9 分母有理化的应用】 PAGEREF _Toc8121 \h 5【知识点1 二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).【题型1 求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则x的取值范围是 ．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是 ．【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2x成立的x的取值范围是（ ）A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则x的取值范围是 ．【题型2 二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•354；（2）2112÷516⋅12．【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷166m•8m3．【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy3÷(−415yx)⋅(−56x3y)（x＞0）．【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab3(−32a3b)÷3ab（b＜0）．【题型3 二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2根号外的因式x移到根号内的正确结果为（ ）A．y B．−y C．−y D．−−y【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−1a3根号外的因式移到根号内为（ ）A．−1a B．1a C．−1a D．−−1a【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2根号外的因式移到根号内，得（ ）A．x−2 B．2−x C．﹣22−x D．−x−2【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为 ．【知识点2 最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4 最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6中，最简二次根式是 ．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A．48 B．14 C．ab D．4a+4【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是 （填序号）．【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2中，是最简二次根式的共有 个．【题型5 化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）A．2 B．58 C．28 D．12【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3100（2）32（3）4x33【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275132−12227；（2）−abc2c32a4b．【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是 ．【题型6 已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（ ）A．﹣4 B．32 C．2 D．8【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝ ，n＝ ．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝ ．【知识点3 分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7 分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）A．4b B．2b C．12b D．b2b【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132= ；（2）112= ；（3）1025= ．【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ）A．a+b和a−b B．−a和a C．5−2和−5+2 D．xa+yb和xa+yb【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2−3+52+3+5【题型8 比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1a，则a、b大小关系是（ ）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15−2，b＝2+5，则a，b的关系是（ ）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，25的大小关系是（ ）A．25＜25＜25 B．25＜25＜25 C．25＜25＜25 D．25＜25＜25【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小比较a+1a+2与a+2a+3的大小．【题型9 分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．（2）计算：①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x=4+7−4−7，再两边平方得x2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x＞0，解得x=2，4+7−4−7=2，根据以上方法，化简6−36+3+8+43−8−43的结果是（ ）A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12=1⋅22⋅2=2(2)2=22，（1）将12+1分母有理化可得 ；（2）关于x的方程3x−12=11+3+13+5+15+7+⋯+197+99 的解是 ．【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=b，则将a±2b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得a±2b化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26=(3±2)2=3±2；材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533（一）；23=2×33×3=63（二）；23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1还可以用以下方法化简：23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22= ；4+23= ．（2）化简：23+1+25+3+27+5+⋯+22n+1+2n−1．
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