华师大版九年级上册22.1 一元二次方程精练

专题22.1  一元二次方程的定义及解【八大题型】

【华东师大版】

【题型1  一元二次方程的识别】

【题型2  由一元二次方程的定义求字母的取值范围】

【题型3  由一元二次方程的定义求字母的值】

【题型4  一元二次方程的一般形式】

【题型5  由一元二次方程的解求字母的值】

【题型6  由一元二次方程的解求代数式的值】

【题型7  由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】

【题型8  已知一元二次方程的根求另一方程的根】

【知识点1 一元二次方程的定义】

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

【题型1  一元二次方程的识别】

【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）

①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x0．

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（　　）

①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（　　）

①x2＝0；    ②ax2+bx+c＝0；    ③a2+a﹣x＝0；    ④（x+1）2＝2x2﹣9；    ⑤x2﹣y2＝3．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦2＝0；⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．6

【题型2  由一元二次方程的定义求字母的取值范围】

【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）

A．a≠±1 B．a≠0 

C．a 为任何实数 D．不存在

【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）

A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0

【变式2-2】（2021秋•龙江县期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 　 　．

【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2•x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　        　．

【题型3  由一元二次方程的定义求字母的值】

【例3】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2

【变式3-1】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　）

A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2

【变式3-2】（2021秋•太平区期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）

A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3

【变式3-3】（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程的解，则m﹣1+a的值为 　  　．

【知识点2  一元二次方程的一般形式】

一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）．这

种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数

项．

【题型4  一元二次方程的一般形式】

【例4】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　）

A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1

【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）若（1﹣m）3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（　　）

A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3

【变式4-2】（2021春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

【变式4-3】（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m　   　，n＝　  　．

【知识点3  一元二次方程的解】

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方

程的根．

【题型5  由一元二次方程的解求字母的值】

【例5】（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　）

A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3

【变式5-1】（2021秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（　　）

A．7 B． C．4 D．﹣7

【变式5-2】（2021秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k为（　　）

A．±1 B．1 C．﹣1 D．0

【变式5-3】（2021秋•封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．2

【题型6  由一元二次方程的解求代数式的值】

【例6】（2021秋•开州区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个解，则6a2﹣3a的值为　  　．

【变式6-1】（2021秋•莲池区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为 　   　．

【变式6-2】（2021秋•盱眙县期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式a2a+6的值为 　 　．

【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【题型7  由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】

【例7】（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）

A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044

【变式7-1】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（　　）

A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021

【变式7-2】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（　　）

A．62 B．63 C．64 D．65

【变式7-3】（2021秋•石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 　 　．

【题型8  已知一元二次方程的根求另一方程的根】

【例8】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　     　．

【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【变式8-2】（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　）

A．2022 B．2020 C．2019 D．2021

【变式8-3】（2021秋•泉州期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022