(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第52讲《圆锥曲线的综合应用-定点、定值问题》（讲）（解析版）

第52讲   圆锥曲线的综合应用——定点、定值问题

思维导图

知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝ |x1－x2|＝ ·

或|AB|＝ ·|y1－y2|＝ ·.

3．定点问题

(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

4.定值问题

(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．

(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.

题型归纳

题型1    “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题

【例1-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．

[解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，

设A，B.

因为直线OA，OB的斜率之积为－，

所以·＝－，化简得t2＝32.

所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.

②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0.

所以yAyB＝，

因为直线OA，OB的斜率之积为－，

所以·＝－，

整理得xAxB＋2yAyB＝0.

即·＋2yAyB＝0，

解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.

所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，

所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．

综上所述，直线AB过定点(8,0)．

【跟踪训练1-1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【解】(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，

∴a＝2，b＝1，

∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立消去y，

可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.

∵点B在以线段MN为直径的圆上，

∴·＝0.

∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，

∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，

整理，得5m2－2m－3＝0，

解得m＝－或m＝1(舍去)．

∴直线l的方程为y＝kx－.

易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．

故直线l过定点，且该定点的坐标为.

【名师指导】

题型2    “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题

【例2-1】设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．

[解]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)．

∵＝ ，∴(x－x0，y)＝(0，y0)，

∴x0＝x，y0＝.

又点M在椭圆上，

∴＋＝1，

即＋＝1.

∴点P的轨迹E的方程为＋＝1.

(2)证明：由(1)知F为椭圆＋＝1的右焦点，

当直线l1与x轴重合时，

|AB|＝6，|CD|＝＝，

∴＋＝.

当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，

∴＋＝.

当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

则直线l2的方程为y＝－(x－1)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，

则Δ＝(－18k2)2－4(8＋9k2)(9k2－72)＝2 304(k2＋1)>0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝ ·＝.

同理可得|CD|＝.

∴＋＝＋＝.

综上可得＋为定值．

【跟踪训练2-1】已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为定值，并求出该定值．

【解】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意得解得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)法一：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2<x0<2，所以kAM＝，

因为AM⊥DE，所以kDE＝－，

所以直线DE的方程为y＝－(x－x0)．

因为kBN＝－，

所以直线BN的方程为y＝－(x－2)．

由

解得E，

所以＝＝＝.

故△BDE与△BDN的面积之比为定值.

法二：设M(2cos θ，sin θ)(θ≠kπ，k∈Z)，

则D(2cos θ，0)，N(2cos θ，－sin θ)，

设＝λ，

则＝＋＝＋λ

＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ)

＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．

又＝(2cos θ＋2，sin θ)，

由⊥，得·＝0，

从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin2θ＝0，

整理得4sin2θ－4λsin2θ－λsin2θ＝0，

即5λsin2θ＝4sin2θ.

所以λ＝，

所以＝＝.

故△BDE与△BDN的面积之比为定值.

【名师指导】