数学必修 第一册4.4 对数函数图片ppt课件

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知识点　三种函数模型的性质[巧梳理]三种常见函数模型的增长差异
[微点拨](1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型；(3)一次函数增长速度不变，平衡变化；(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
[微体验]1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)A．y＝ex　　　　　B．y＝ln xC．y＝2x D．y＝e－x
2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b解析：B　由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
学习任务一　函数增长速度的差异[例1]　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)A．y＝2021x　　　　B．y＝2021xC．y＝lg2021x D．y＝2021(2)在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表.则x，y最合适的函数是(　　)A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
(3)下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是________．①y＝3×1.04x；②y＝20＋x10；③y＝40＋lg(x＋1)；④y＝80.解析：(3)结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.
增长速度的比较，当自变量的差值相同时(x2－x1为定值)，函数值的差值(y2－y1)越大，增长速度越大．
[跟踪训练]1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体对应的函数关系是(　　)A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x解析：D　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.
学习任务二　函数增长速度的比较[例2]　(1)(多选) 如图，能使得不等式lg2x2B．x>4C．0(2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
解：①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝ln x.②当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[跟踪训练]2．在同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x在(0，＋∞)上的图象，并比较x＋5与2x的大小．解：函数y＝x＋5与y＝2x的图象如图所示；当02x，当x＝3时，x＋5＝2x，当x>3时，x＋5<2x.
学习任务三　函数模型的选择[例3]　为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据现有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝mx2＋n(m>0)可供选择．(1)分别求出两个函数模型的解析式；(2)若市环保局在2019年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；
(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点．但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右．试用所学的知识解释这些现象的成因．你从中得到了什么启示？
(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快．当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内．从中可以得到以下启示：数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题．(答案不唯一)
1．关于曲线的选择首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓．2．关于函数模型的选择选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证．
[跟踪训练]3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)A．y＝6x　　　B．y＝lg6xC．y＝x6 D．y＝6x解析：B　D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型解析：A　随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故此线性函数为一次函数模型．
3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：现有如下4个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.答案：④
基础巩固练1．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数关系的函数模型是(　　)A．指数函数y＝2t　B．对数函数y＝lg2tC．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2解析：A　观察图象增长状态，并将图中各点坐标代入，只有答案A项符合题意．
2．某杂志能以每本1.2元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为(　　)A．0.5元B．0.8元C．1元 D．1.1元解析：A　设杂志的价格降低了x个0.1元，则此时价格为(1.2－x·0.1)元，卖出(12＋4x)万本，设总销售收入为y万元，则y＝(1.2－0.1x)(12＋4x)＝－0.4x2＋3.6x＋14.4(x∈N*)，要使y≥20，即x2－9x＋14≤0，解得2≤x≤7，当x＝7时，价格最低为1.2－0.7＝0.5(元)．
解析：C　对于A，x＝1，2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1，2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y<0.7，相差较大，不符合题意．
4．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，一年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为(　　)A．B，A，CB．A，C，BC．A，B，C D．C，A，B
5．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)解析：B　随着时间的推移，在相同的时间段内，Q的改变量越大，则运输效率越高，从左向右看图象，变化逐步变“陡”的是B.
6．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　　)
解析：C　即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A，D)，故选C.
7．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析：从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是相对于自变量的变化区间，四个函数值的增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，根据四个增长函数模型的情况可知变量y2关于x呈指数型函数变化．答案：y2
8．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．答案：y＝x2
综合应用练10．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)A．16小时　　　　　　B．20小时C．24小时 D．28小时
11．(多选)如图，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为(　 　)A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 hB．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
解析：ABC　看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动．因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误．
13．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．∴1x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8)．
解：(1)当总质比为410时，v＝2000 ln 410.由参考数据得v≈2000×6＝12 000 m/s，∴当总质比为410时，A型火箭的最大速度约为12 000 m/s.