2023浙江省十校联盟高三上学期10月联考数学试题含解析

2022年10月浙江省十校联考（解析）

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则(  )

A.       B.      C.     D.

2.已知复数(为虚数单位),则 (  )

A.           B.           C.              D.

3.展开式中的项的系数为(  )

A.15                 B.20            C.30                 D.35

4.源于探索外太空的渴望,航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件,宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有(  )

A.18种            B.36种           C.72种             D.108种

5.设平面向量均为单位向量,则“”是“”的(  )

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

6.同时具有以下性质:“①最小正周期是;②在区间上是增函数”的一个函数是(  )

A.        B.

7.已知定义在R上的函数满足.若函数与的图象的交点为,则(  )

A.5                B.10             C.15                D.20

8: 在△OAB中,OA＝AB,∠OAB＝120°.若空间点P满足,则直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是(  )

A.             B.            C.                D.1

二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的的0分.

9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下,下列说法正确的是(  )

A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,则

B.若甲、乙两组数据的方差分别为,则

C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D.甲成绩比乙成绩稳定

【答案】AD

10：某车间加工同一型号零件,第一、二台车床加工的零件分别占总数的,各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工"为事件任取一个零件是次品"为事件,则(  )

11.如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为（    ）

A.          B.          C.            D.

12.已知，，且，则（    ）

A.                 B.     

C.                 D.

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若,则__________.

14.台风中心从地以的速度向东北方向移动,离台风中心内的地区为危险区,城市在地正东处,求城市处于危险区内的持续时间为__________h

15.已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点;②渐近线方程为；③离心率.则双曲线的方程为_________.

16.若对任意都有（其中为自然对数的底数）恒成立,则实数的最小值为为________________.

四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知的三个内角,,的对边分别为,,,．

(1)若,求的大小；

(2)若不是钝角三角形,且,求的面积取值范围．

18.已知数列的前项和为,,

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设,记数列的前项和为,,证明：

19.现将某校高三年级不同分数段（满分150分)的学生对数学感兴趣程度进行调查(只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项),随机抽调了50人,各分数段频数(单位:人)及对数学感兴趣人数如下表:

(1)根据以上统计数据完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”?

(2)若在成绩为分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人,求成绩来自这一分数段人数的分布列及数学期望.

附:.

20.在斜三棱柱中,.

(1)证明:在底面上的射影是线段中点;

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

21.如图,已知拋物线的焦点,且经过点.

(1)求和的值;

(2)点在上,且.过点作为垂足,

证明:存在定点,使得为定值.

22.已知函数与有相同的最大值（其中为自然对数的底数）.

(1)求实数的值;

(2)证明:,都有;

(3)若直线与曲线有两个不同的交点,求证:

2022年10月浙江省十校联考（解析）

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则(  )

A.       B.      C.     D.

【答案】A

【解析】：故选A

2.已知复数(为虚数单位),则 (  )

A.           B.           C.              D.

【答案】D

【解析】：故选D

3.展开式中的项的系数为(  )

A.15                 B.20            C.30                 D.35

【答案】C

【解析】：∵展开式中含的项为,∴的系数为30.

故选C

4.源于探索外太空的渴望,航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件,宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有(  )

A.18种            B.36种           C.72种             D.108种

【答案】B

【解析】：5道程序,对应5个位置.先放A,B,中间三个位置任选,有种,再安排其余3道程序,有种,则共有种安排. 故选B.

5.设平面向量均为单位向量,则“”是“”的(  )

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】：⇔⇔⇔.

故选C.

6.同时具有以下性质:“①最小正周期是;②在区间上是增函数”的一个函数是(  )

A.        B.

C.    D.

【答案】B

【解析】：A项:,A不正确;

B项:,且时,,此时在上单调递增,B正确;

C项:,且时,,而在上递减,C不正确;

D项:,且时,,

当时,,单调递增,

当时,,单调递减,

∴在上先增后减,D不正确.

故选B.

7.已知定义在R上的函数满足.若函数与的图象的交点为,则(  )

A.5                B.10             C.15                D.20

【答案】A

【解析】：∵,则,∴关于(0,1)中心对称.又也关于(0,1)中心对称,则两函数的图象的交点关于(0,1)中心对称,故,,所以.故选A

8: 在△OAB中,OA＝AB,∠OAB＝120°.若空间点P满足,则直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是(  )

A.             B.            C.                D.1

【答案】C

【解析】：不妨取OA＝AB＝2,因为,

则,

∴,即点P在以AB为轴的圆柱面上,

如图,当OP与圆柱面相切时,所成角最大,此时.  故选C

二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的的0分.

9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下,下列说法正确的是(  )

A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,则

B.若甲、乙两组数据的方差分别为,则

C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D.甲成绩比乙成绩稳定

【答案】AD

【解析】：

由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,∴,故A正确；

由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,∴,故选项B错误,D正确；

极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故C错误.

故选AD.

10：某车间加工同一型号零件,第一、二台车床加工的零件分别占总数的,各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工"为事件任取一个零件是次品"为事件,则(  )

A.  B.  C. D.

【答案】BCD

【解析】：依题意,,故C正确；

,所以,故A错误；

,∴,故B正确；,故正确.

故选BCD.

11.如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为（    ）

A.          B.          C.            D.

【答案】AD

【解析】由已知得，经过的小圆的直径为，设圆心为，经过的小圆的直径为，设圆心为，球心为，则，球的半径为，∴,

①如图1，若平面与平面居于圆心的两侧，则，；

②如图2，若平面与平面居于圆心的同侧，则，.

故选AD.

12.已知，，且，则（    ）

A.                 B.     

C.                 D.

【答案】ACD

【解析】对于A，，当且仅当时等号成立；

对于B，由于，∴，∴，故B错误；

对于C，，，而在上单调递减，∴，故C正确；

对于D，，∵当时，，

∴，故D正确.

综上：选ACD

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若,则__________.

【答案】:

【解析】：

.     故填：

14.台风中心从地以的速度向东北方向移动,离台风中心内的地区为危险区,城市在地正东处,求城市处于危险区内的持续时间为__________h

【答案】:

【解析】：

建系如图,则台风路径方程为, ,影响半径,

则台风中心进过弦时B在危险区,由弦长公式得

,从而影响时间为   故填：1

15.已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点;②渐近线方程为；③离心率.则双曲线的方程为_________.

【答案】：.

【解析】：若满足条件③,则双曲线为等轴双曲线,等轴双曲线渐近线方程为,不满足条件②,此时点在渐近线上方,不符合题意,故双曲线恰好满足的条件为①②.由双曲线渐近线方程为可设双曲线C方程为：,把点代入解得,故双曲线C方程为：，故填.

16.若对任意都有（其中为自然对数的底数）恒成立,则实数的最小值为为________________.

【答案】：.

【解析】：

可变形为,

令,则原不等式变形为：时，恒成立

，在上单调递增,∴恒成立

对两边取对数得,即恒成立

令,由知在上单调递增；在上单调递减,故,所以.    故填：

四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知的三个内角,,的对边分别为,,,．

(1)若,求的大小；

(2)若不是钝角三角形,且,求的面积取值范围．

【解析】：

(1)由题意得,,

因为,所以,化简得,

因为,所以,即,代入上式可得,

化简得,解得,∵,∴．

(2)由(1)得,,

∵不是钝角三角形,∴,代入上式得

,∴,即,∴,

根据正弦定理可得,∵,,∴,

,∵,∴,

又∵,则,∴的面积取值范围为．

18.已知数列的前项和为,,

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设,记数列的前项和为,,证明：

【解析】：

(1)∵,∴,

∴,故数列为等比数列,公比为2.

（2）由(1)可知,∴,

于是,

19.现将某校高三年级不同分数段（满分150分)的学生对数学感兴趣程度进行调查(只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项),随机抽调了50人,各分数段频数(单位:人)及对数学感兴趣人数如下表:

(1)根据以上统计数据完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”?

(2)若在成绩为分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人,求成绩来自这一分数段人数的分布列及数学期望.

附:.

【解析】：

（1)

因此有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”.

(2)根据题意知 ,,

所以的分布列为:

数学期望为:.

20.在斜三棱柱中,.

(1)证明:在底面上的射影是线段中点;

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【解析】：

(1)证明:取线段中点,连.为中点,.

又已知,,得平面.则

在Rt中,,则.

在中,,则.

在Rt中,,则.

在中,,则

又,得平面.

(2)以点为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系如图.

则，.

设平面的法向量则,即,取得.

取平面的法向量.

记平面与平面夹角为,

则.

21.如图,已知拋物线的焦点,且经过点.

(1)求和的值;

(2)点在上,且.过点作为垂足,

证明:存在定点,使得为定值.

【解析】：

(1)由题意得,解得.

(2)抛物线.设直线.

联立,得.

∵，∴，

得,即

即,即.

当时,直线,则直线过点,舍去.

当时,直线,则直线过定点.

在以为直径的圆上.

存在的中点,使得.

22.已知函数与有相同的最大值（其中为自然对数的底数）.

(1)求实数的值;

(2)证明:,都有;

(3)若直线与曲线有两个不同的交点,求证:

【解析】：

(1)∵,∴当时有最大值为，

，∴在递增,递减,∴，∴.

(2)由于,

记,等价于证明:

∵，，∴在上单调递减，∴，

∴在上单调递增，∴.

(3)由(2)可知.

记直线与曲线的两个交点的横坐标为（），则,不妨设，

由题意可知，，又,所以，

∵在递增，∴，同理可得，于是，

而是方程即的两个根;所以，∴