2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期8月质量检测数学试题含解析

这是一份2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期8月质量检测数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期8月质量检测数学试题

一、单选题
1．设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【分析】由题意知，子集A和B不可以互换，即视为不同选法，从而对子集A分类讨论，当A是二元集或三元集或是四元集，求出相应的B，根据计数原理得到结论．
【详解】解：对子集A分类讨论：
当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；
当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，
根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．
故选：C．
2．已知，且，成立的充分而不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，可得a的范围，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.
【详解】当时，在为单调递增函数，则恒成立，
当时，在为单调递减函数，
由，可得，解得，
综上使成立a的范围是，
由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，
所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，
分析选项可得，只有A符合题意，
故选：A
3．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
4．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得.
【详解】由题可得在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以，
所以.
故选：D.
5．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
6．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】将已知等式结合进行化简，得到，并利用正弦定理可得，代入 “三斜求积”公式并将看成整体并利用二次函数性质得解.
【详解】，
，
又，
所以，
所以，
所以，
所以 ，
由正弦定理得   

的面积，
，
将看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为.
故选：A .
7．设随机变量（且），最大时，（       ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量，则，
因最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以.
故选：C
【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．
8．已知，，，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.
【详解】由题意知：，，；
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，又，，即；
设，则；
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.

二、多选题
9．在三棱锥中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（       ）
A．平面 B．
C．三棱锥的体积的最大值为 D．与不垂直
【答案】AC
【分析】由线面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的性质定理可判断B，D；当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，由等体积法即可求出三棱锥的体积的最大值可判断C.
【详解】根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取中点，连接：
为等腰直角三角形，

则且，
则平面，所以，选项D错误
因为M，N分别是棱BC，CD的中点，则，
而平面，平面，所以平面，选项A正确；
当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，
则最大值为，选项C正确；
假设，由，且，
所以平面，则，在中，，与已知矛盾，选项B错误.
故选：AC.
10．已知直线，则（       ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点；
对于选项B，通过斜率相等可以求解；
对于选项C，通过斜率之积等于可以求解；
对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.
【详解】直线，则，
由，得，所以恒过定点，所以A错误；
由可得：，所以，B正确；
由可得：，，所以C错误；
由，当时，，不过第三象限；
当时，，不过第三象限，只需要，解得，
所以的取值范围为，所以D正确；
故选：BD.
11．已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（       ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
【答案】AC
【分析】令，得到，求得，令，利用导数得到，进而得到，可判定A正确，B不正确；求得，进而可判定C正确；设且，求得，可得，进而可判定D错误.
【详解】令，则，
因为，可得，
又由，可得，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，所以C正确；
设，则，则
因为，所以，
所以，
令，
则


注意到时，，进而单减，

知时“，即.”
时单减，而，所以D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，极值，利用导数解决有关不等式的问题，解题的关键是根据题意合理构造函数，然后利用导数解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题
12．若过点最多可以作出条直线与函数的图像相切，则（       ）
A．可以等于2022 B．不可以等于3
C． D．时，
【答案】AD
【分析】设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，利用导数的几何意义可得，构造函数，进而可得过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，利用导数研究函数的性质，画出函数的大致图象，利用数形结合可得不同取值时的取值，结合选项分析即得.
【详解】设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，则，
因为，，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
令，则过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，
因为，
令，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以，函数的图像大致如图

由图可知当时，直线与曲线的图像没有公共点，即，
当或时，直线与曲线的图像有1个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有2个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有3个公共点，即，
对于A，当，此时，则符合题意，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，则，故C错误；
对于D，当或时，，则当时，，故D正确.
故选：AD.

三、填空题
13．集合的真子集个数是__________.
【答案】
【分析】先化简集合，再利用公式即可求得集合的真子集个数
【详解】
则集合的真子集的个数是.
故答案为：
14．函数的零点个数是______．
【答案】2
【分析】函数的零点个数，即为函数的图象交点的个数，作出两函数图象，数形结合即可得出答案.
【详解】解：令，则，
作出函数的图象，
由图可知，函数的图象有两个交点，
故方程有两个不同的根，
所以函数有2个零点.       
故答案为：2.

15．设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题知恰有两个整数解，构造函数，利用导数研究函数的性质，作出函数的大致图象，利用数形结合即得.
【详解】由，可得，
令，
由题意知恰有两个整数，使成立，
因为，由，可得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，且，
直线恒过点，且斜率为，

结合图象可得 ，即，
解得，
即的取值范围是.
故答案为；.
16．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
【答案】
【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

四、解答题
17．已知函数在处取得极大值为2．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；
（2）利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数在上的最值，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，从而可得出答案.
【详解】(1)解：，
因为函数在处取得极大值为2，
所以，解得，
经检验符合题意，
所以；
(2)解：，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
又，
所以当时，，
对于区间上任意两个自变量的值都有，
则，
所以，
所以实数的最小值为4．
18．重庆轨道交通号线一期己于今年月日开通运营，全长公里，从高滩岩站至兴科大道站一路经过座车站．沙坪坝站是目前客流量最大的站点，某数学兴趣小组在沙坪坝站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了名乘客，记录了他们从来源地到沙坪坝站所花费时间t，得到下表：
时间






人数（人）







(1)从在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间小于的概率；
(2)估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间的中位数；
(3)已知的人，其平均数和方差分别为，；的人，其平均数和方差分别为，，计算样本数据中的平均数和方差．
【答案】(1)
(2)
(3)平均数为，方差为
【分析】（1）由频率估计概率即可得到结果；
（2）设中位数为，可求得，由中位数定义知，由此可得解得结果；
（3）根据加权平均数和方差的计算方法直接求解即可.
【详解】(1)由表格数据可知：乘客花费时间小于的共有人，
所求概率.
(2)设中位数为，
由表格数据知：花费时间小于分钟的频率为，花费时间小于分钟的频率为，；
，解得：，
即估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间的中位数为.
(3)样本数据中的平均数；
方差.
19．如图：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，E，F分别为DD1，BB1的中点.

(1)求证：CF//平面A1EC1；
(2)过点D做正方体截面使其与平面A1EC1平行，请给以证明并求出该截面的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明CF//平面A1EC1；
（2）先利用面面平行判定定理作出截面，再去求其面积即可.
【详解】(1)取中点M，连接
由，可得四边形为平行四边形，则
由，可得四边形为平行四边形，则
则，又平面，平面，则平面；

(2)取AA1，CC1中点G，H，连接DG，CB1，B1H，HD，

因为四边形ADHF为平行四边形，所以AF//DH
因为四边形AFB1G为平行四边形，所以GB1//AF，所以GB1 //DH
所以GDHB1即为过点D长方体截面，
∵DG//A1E，平面AEC1，平面AEC1，∴DG//平面AEC1
∵DH// C1E，平面AEC1，平面AEC1，∴DH//平面AEC1
又∵，∴平面DHB1G//平面AEC1.

20．已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值；
【分析】对于小问1，设点，代入，整理化简得点轨迹方程；
对于小问2，设出直线：，联立曲线的方程，结合韦达定理，代入，整理得到和的关系，进而判断直线是否过定点．
【详解】(1)设，则，所以点轨迹方程为：．
(2)显然直线不垂直于轴，
故设：，，
代入并整理得： ，

∴

，
整理得：，
若，此时过，不合题意；
若，即符合题意，
故直线的斜率为．
21．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可.
(2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果.
(3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望.
【详解】(1)由题设, 服从参数为 的两点分布, .

(2)记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 表示事件: “甲投中花球”, 则

于是
(3)由题设 值可取 , 则

于是
22．已知函数，．
(1)若，直线l是的一条切线，求切线l的倾斜角的取值范围；
(2)求证：对于恒成立．
（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，令，即可得到的单调性，从而求出的取值范围，即可求出倾斜角的取值范围；
（2）令，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值，再证明其极小值大于即可；
【详解】(1)解：因为，所以，设，则，
所以在上单调递增，故，
则，因为，
所以．
(2)解：令，，
则，设函数，得，
当时，，，；
当时，，，；
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，使得．
又．
．
所以，使得．
所以函数的单调性及极值情况如下表：
x






+
0
-
0
+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

因为，所以只需证明．
由，得，
所以．
令，，
因为在上单调递减，
所以，
所以对于恒成立，即对于恒成立
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．