2023届广东省部分学校高三上学期入学摸底联考数学试题含解析

2023届广东省部分学校高三上学期入学摸底联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B.

2．已知命题：，，则为（       ）

A．，        B．，

C．，        D．，

【答案】B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定判断.

【详解】因为命题：，，

所以：，，故A，C，D错误.

故选：B.

3．已知某质点从平面直角坐标系中的初始位置点，沿以为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点，设在轴上的射影为，则点的坐标为（       ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.

【详解】由三角函数的定义得，点的坐标为.

故选：C.

4．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（       ）

A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺

【答案】A

【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．

【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.

由题可知，所以，

，

，

，

故选：A．

5．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（       ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【分析】由题意得到以为直径的圆与椭圆有4个交点，进而得到，求出的取值范围.

【详解】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：，

所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，

所以，所以，所以.

故选：D

6．在中，已知，，与交于，则（       ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【分析】过作直线交于，结合和可求出，再由表示出即可求出答案.

【详解】如图，过作直线交于，因为，

所以，因为，所以设，则，

所以，因为，所以，

所以.

故选：C.

7．若，，，，则（       ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【分析】构造函数比较的大小，由单调性得到的大小，根据中间值得到，从而比较出大小

【详解】因为，所以，即，

令，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以.

故选：C.

8．一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（       ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【分析】分别求出开关所在的分支、开关所在的分支，开关，，所在的分支不通的概率，由对立事件的概率即可求出答案.

【详解】电路由上到下有3个分支并联，开关所在的分支不通的概率为，

开关所在的分支不通的概率为，

开关，，所在的分支不通的概率为，

所以灯亮的概率是.

故选：A.

二、多选题

9．若复数z满足：，则（       ）

A．z的实部为3 B．z的虚部为1

C． D．z在复平面上对应的点位于第一象限

【答案】ABD

【分析】根据待定系数法，将代入条件即可求解，，进而即可根据选项逐一求解.

【详解】设，因为，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；，故C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，故D正确．

故选:ABD．

10．若直线与圆：交于，两个不同的点，且，则的值为（       ）

A．0        B．5        C．6        D．－6

【答案】AD

【分析】表达出圆心到直线的距离，根据垂径定理及特殊角计算出，列出方程，求出答案.

【详解】圆的半径为3，设圆心到直线的距离为，

则，因为，所以，

所以，解得：或.

故选：AD.

11．已知，，则（       ）

A．        B．        C．        D．

【答案】AD

【分析】因为，，所以，由均值不等式可判断A；由可判断B；由，由均值不等式可判断C；，令，则，令，对函数求导，得到函数的单调性，可判断D.

【详解】因为，，所以，选项A：因为，所以，

当且仅当时等号成立，故正确；

选项B：因为，

当且仅当时等号成立，故不正确；

选项C：因为，

所以，当且仅当时等号成立，故不正确；

选项D：，令，则，

令，所以，所以

在上单调递增，所以，所以，故D正确.

故选：AD.

12．在四棱锥中，已知，，，则（       ）

A．四边形内接于一个圆

B．四棱锥的体积为

C．四棱锥外接球的球心在四棱锥的内部

D．四棱锥外接球的半径为

【答案】AD

【分析】A选项，求出，得到A、B、C、D四点共圆；

B选项，求出四棱锥底面积和高，求出体积；

C选项，找到四棱锥的外接球球心，设出，求出，

得到四棱锥外接球的球心在四棱锥的外部；

D选项，在选项C的基础上求出外接球的半径.

【详解】选项A：由已知得三角形为正三角形，又，，所以，，

故，

所以A、B、C、D四点共圆，故A正确；

选项B：由上得、、、四点共圆，设圆心为，，且，

所以，设点在平面的投影为，

因为，所以，

即为四边形的外接圆的圆心，所以，重合，

所以平面，，

四边形的面积，

所以四棱锥的体积为，故B不正确；

选项C：设四棱锥外接球的球心为，因为平面，

且，所以球心在上，设，

所以，所以，

解得：，

所以球心在的延长线上，

所以四棱锥外接球的球心在四棱锥的外部，故不正确；

选项D：四棱锥外接球的半径为，所以D正确.

故选：AD.

【点睛】锥体外接球问题，要找到球心的位置，以及球心在特殊平面上的投影，根据半径相等建立方程，求出外接球的半径，进而求出球的表面积或体积.

三、填空题

13．的值为______.

【答案】

【分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式化简可得值.

【详解】由题意，，

故答案为：.

14．已知函数是奇函数，且最小正周期为，则______（写出符合的一个答案即可）.

【答案】（答案不唯一）.

【分析】写出符合要求的三角函数即可

【详解】根据是奇函数，且最小正周期为，可写出，满足题意.

故答案为：（答案不唯一）.

15．“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为______.

【答案】18

【分析】先把除甲乙两人的4名志愿者分成两组，再搭配3名医生，用分步乘法原理计算可得结果.

【详解】志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种.

故答案为:18.

16．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将函数图象右移2个单位，下移2个单位得到函数的图象，若，分别为函数，图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______.

【答案】

【分析】根据平移，，两点之间距离的最小值等于到直线距离最小值的2倍，根据导函数的几何意义得到当点到直线距离最小，求出最小值，从而得到答案.

【详解】由已知得，将，图象的对称轴右移1个单位再下移1个单位，

即得到函数，图象的对称轴为直线即，

所以，两点之间距离的最小值等于到直线距离最小值的2倍，

，故函数的图象在点处的切线斜率为，

令，得，，

所以到直线距离的最小值为，

所以这两点之间距离的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列满足，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项的和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分为奇数和为偶数，求解通项公式；

（2）利用分组求和求解.

【详解】(1)当为奇数时，，

所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，

所以，

当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；

(2).

18．随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.

(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；

(2)在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.

附：.

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.

（2）随机变量的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.

【详解】(1)解：由题意可得列联表为：

则.

所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.

(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间中含有10个，

随机变量的可能取值有0，1，2，

，，，

随机变量的分布列如下：

.

19．在中，角，，的对边分别为，，，.

(1)求的大小；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数关系式的恒等变换求出的大小.

（2）利用三角形的面积公式结合题意求出的值，再由余弦定理求出，即可求出的周长.

【详解】(1)因为，

所以，

所以，

所以，

因为，

因为，

所以，

所以，所以，

因为，所以.

(2)因为的面积为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

在中，由余弦定理得，

，

所以的周长为.

20．如图，在长方体中，，.若平面与棱，分别交于，，且，，分别为棱，上的点，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直；

（2）利用坐标法求的两个面的法向量，进而可得余弦值，再利用二次函数的性质求的最值.

【详解】(1)因为为长方体，所以平面，

又平面，，

，，

又，

，即，

所以，即，

又，，平面，

平面，

平面，

平面平面；

(2)以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，

，平面，且平面平面，

，，四边形为平行四边形，

，

，，，

所以，，，，，

，，

设平面的法向量为，

则，令，则，且，

又由（1）得平面的法向量为，

设平面与平面所成角为，

则，

设，则，，

即，

所以当，即，时，取得最小值为.

【点睛】21．设函数，.

(1)当时，求函数的导函数的值域；

(2)如果恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)－1

【分析】（1）先求导，代入，得到研究对象，利用导数求最值的方法即求得的值域；

（2）方法一：由恒成立易得，再对与进行分类讨论，可得时恒成立，故的最大值为－1；

方法二：

先由得到，再证明当，原不等式恒成立即可解得.

【详解】(1)，当时，，

令，所以，

所以在单调递减，

所以，

所以的值域为.

(2)方法一：

若，恒成立，首先，，所以，

当时，因为，所以，

所以函数在时单调递增，所以，

当时，令，

所以，

所以在上单调递减，

所以，

因为，所以，

所以在存在一个零点，

当时，，所以单调递减，

所以，

即不恒成立.

综上：所以.则实数的最大值为－1.

方法二：

，，

，且恒成立，则.

∴，∴，

现证明当，原不等式恒成立，

，

，

∴，

即在单调递增，∴成立，

，原式成立.

∴，∴.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．

22．设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.

(1)求的值；

(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，从而得到两点的坐标，得到三角形的面积为，列出方程，求出的值；

（2）设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三点共线，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直线所过的定点.

【详解】(1)双曲线：的渐近线方程为，

不妨设，

因为三角形的面积为，所以，

所以，又，所以.

(2)双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，

若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，

设，，则，

联立，得，

且，

化简得且，

所以，，

因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，

因为，，三点共线，所以，

即，即，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

化简得，所以经过轴上的定点.

【点睛】圆锥曲线相关的直线过定点问题，通常要设出直线方程，将直线与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干信息列出方程，代入两根之和和两根之积，求出定点.