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    2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学(文)试题含解析

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    这是一份2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学(文)试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学(文)试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则=(       

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据集合交集补集运算求解即可.

    【详解】解:因为

    所以,所以

    故选:B

    2.命题的否定为(       

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】由特称命题的否定需改变量词,否定结论可得.

    【详解】命题的否定为

    故选:C

    3.若满足约束条件,则的最小值为(       

    A B C D

    【答案】D

    【分析】先画可行域,再结合图象求出最优解,最后计算目标函数的最小值

    【详解】

    可行域如图所示,

    当直线过点时,取得最小值.

    所以的最小值为

    故选:D

    4.已知点是角的终边上一点,则       

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据三角函数的定义与二倍角公式计算求解即可.

    【详解】解:因为点是角的终边上一点,

    所以

    所以

    故选:A

    5.已知向量,且,若,则实数m的值为(       

    A0 B  C D

    【答案】D

    【分析】结合向量数量积的坐标表示与模的坐标表示求解即可.

    【详解】解:因为向量,且

    所以,得(舍)或,即

    所以,,

    所以,解得

    故选:D

    6.如图,长方体中,,若直线与直线所成的角为,则该长方体的表面积为(       

    A48 B32 C24 D12

    【答案】C

    【分析】由题知该长方体是棱长为2的正方体,再计算表面积即可.

    【详解】解:连接

    因为在长方体中,

    所以,,又

    所以即为直线与直线所成的角,所以

    所以

    ,解得

    所以该长方体是棱长为2的正方体,其表面积为

    故选:

    7.若直线与圆交于AB两点,则当周长最小时,k=(       

    A B C1 D.-1

    【答案】C

    【分析】由直线方程可得直线恒过定点,由圆的几何性质可得当时,周长最小,由此可求的值.

    【详解】直线的方程可化为

    所以直线恒过定点

    因为

    所以点在圆内,

    由圆的性质可得当时,最小,周长最小,

    所以,此时

    故选:C

    8.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度,得到函数gx)的图象,若对任意的,均有成立,则的最小值为(       

    A B C D

    【答案】B

    【分析】由题意可得,由对任意的,均有成立可得,结合,即可得出答案.

    【详解】由题意知

    因为恒成立,

    所以处取得最大值,

    ,即

    因为,当时,取得最小值

    故选:B

    9.某企业秉承科学技术是第一生产力的发展理念,投入大量科研经费进行技术革新,该企业统计了最近6年投入的年科研经费x(单位:百万元)和年利润y(单位:百万元)的数据,并绘制成如图所示的散点图.已知xy的平均值分别为.甲统计员得到的回归方程为;乙统计员得到的回归方程为;若甲、乙二人计算均未出现错误,有下列四个结论:

    当投入年科研经费为20(百万元)时,按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6(百万元)(取);

    方程比方程拟合效果好;

    yx正相关.

    以上说法正确的是(       

    A①③④ B②③ C②④ D①②④

    【答案】D

    【分析】结合样本中心点过回归直线方程,已知数据,散点图等依次判断各命题即可得答案.

    【详解】解:将代入,得正确;

    代入正确;

    由散点图可知,回归方程的拟合效果更好,错误;

    因为的增大而增大,所以正相关,正确.故①②④正确.

    故选:D

    10.已知,则(       

    Ab>c>a Bc>b>a Ca>c>b Db>a>c

    【答案】A

    【分析】构造函数,利用导数判断其单调性即可解出.

    【详解】,则

    时,;当时,

    所以上单调递增,在上单调递减,

    ,因为,所以

    故选:

    11.已知等差数列的前n项和为,且,则满足的正整数n的最大值为(       

    A11 B12 C21 D22

    【答案】C

    【分析】可知,则可知,由此即可选出答案.

    【详解】因为

    所以

    所以

    所以满足的正整数的最大值为21

    故选:C

    12.已知定义域为的偶函数的图像是连续不间断的曲线,且,对任意的恒成立,则在区间上的零点个数为(       

    A100 B102 C200 D202

    【答案】A

    【分析】结合题意得是以4为周期的函数,且在一个周期内有两个零点,再根据周期性求解即可.

    【详解】解:令,得,即

    因为对任意的恒成立,

    所以,上单调递增,

    因为为偶函数,

    所以上单调递减,

    所以

    所以是以4为周期的函数,

    因为在一个周期内有两个零点,

    在区间上的零点个数为

    故选:A

     

    二、填空题

    13.若复数是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为______.

    【答案】2

    【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.

    【详解】解:复数是纯虚数,

    ,解得

    故答案为:2

    【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及纯虚数的定义,属于基础题.

    14.已知函数fx)满足:.请写出一个符合上述条件的函数fx)=______

    【答案】(答案不唯一,符合条件即可)

    【分析】由条件对可推测上可能为对数函数,再由确定其解析式.

    【详解】因为对

    所以上可能为对数函数,

    满足条件,又

    所以

    故符合上述条件的函数可能为:

    故答案为:(答案不唯一).

    15.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与交于两点(点在第一象限),若,则______

    【答案】

    【分析】分别过点作准线的垂线,垂足为,过点的垂线,垂足为,设,进而结合抛物线的性质求解即可.

    【详解】解:如图,分别过点作准线的垂线,垂足为

    过点的垂线,垂足为

    ,易得,则

    由抛物线的性质可得

    所以,,解得,故

    故答案为:

    16.已知的内角ABC所对的边分别为abc,若,且,则______

    【答案】

    【分析】利用余弦定理求得,再由利用正弦定理化边为角,结合内角和定理和两角和差正弦公式化简可求.

    【详解】

    ,又,故

    ,所以

    ,化简得

    整理得,因为

    所以,即

    故答案为:.

     

    三、解答题

    17.在,三个条件中任选一个,补充到下面问题的横线处,并解答.

    已知数列的前项和为,且______

    (1)

    (2)求数列的前项和

    注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】1)选,用构造法可求得数列的通项公式,选,利用的关系,可求得数列的通项公式,选,利用的关系,先求得数列的递推关系,再用构造法可求得数列的通项公式

    2)利用错位相减法即可求解

    【详解】(1),由

    所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,

    ,所以

    ,由

    作差得

    符合上式,所以

    ,由

    作差得,即

    ,即

    所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,

    ,所以

    (2)

    所以

    作差得

    化简得

    所以

    18.在实施乡村振兴的进程中,某地政府引领广大农户发展特色农业,种植优良品种柑橘.现在实验基地中种植了相同数量的两种柑橘.为了比较两个柑橘品种的优劣,在柑橘成熟后随机选取两种柑橘各株,并根据株产量(单位:)绘制了如图所示的频率分布直方图(数据分组为:):

     

    (1)的值;

    (2)将频率当做概率,在所有柑橘中随机抽取一株,求其株产量不低于的概率;

    (3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表),并从产量角度分析,哪个品种的柑橘更好?说明理由.

    【答案】(1)

    (2)

    (3)品种的柑橘更好;理由见解析

    【分析】1)利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值;

    2)计算出两个品种柑橘株产量不低于的频率,再利用频率、频数和总容量之间的关系可求得所求事件的概率;

    3)利用频率分布直方图计算出两个品种柑橘株产量的平均值,利用平均值的大小关系或者从两个品种柑橘株产量在及以上的占比判断可得出结论.

    【详解】(1)解:由频率分布直方图可得,解得,解得

    (2)解:品种柑橘株产量不低于的频率为

    品种柑橘株产量不低于的频率为

    株柑橘中产量不低于的频率为

    所以在所有柑橘中随机抽取一株,其株产量不低于的概率为

    (3)解:A品种柑橘株产量平均数的估计值为

    品种柑橘株产量平均数的估计值为

    品种的柑橘更好.理由如下:

    方法一:的平均产量大于的平均产量.

    方法二:由频率分布直方图可知,品种柑橘株产量在及以上的占比为

    品种柑橘株产量在及以上的占比为,故品种的柑橘更好.

    19.如图,梯形ABCD中,DEAB,垂足为点E.将AED沿DE折起,使得点A到点P的位置,且PEEB,连接PBPCM分别为PCEB的中点.

    (1)证明:平面PED

    (2)求点C到平面DNM的距离.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

    【分析】1)取PB中点,先证明平面平面PED,由此证明平面PED

    2)利用等体积法可求点C到平面DNM的距离.

    【详解】(1)如图,取PB中点,连接MQNQ,因为MQ分别为PCPB的中点,故

    平面平面PED,所以平面PED.同理平面PED

    平面平面MNQ,所以平面平面PED

    因为平面MNQ,所以平面PED

    (2)因为BE平面BCDE

    所以平面BCDE

    到平面CDN的距离为

    所以

    平面BCDE,故

    又因为平面PED

    所以平面PED,又平面PED

    所以

    所以

    所以

    ,设点到平面DNM的距离为

    ,即,得

    所以点C到平面DNM的距离为

    20.已知椭圆的离心率为,且经过点

    (1)求椭圆的方程;

    (2)若过点的直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为点,求面积的最大值.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】1)由题知,再待定系数求解即可得答案;

    2)结合题意设,则,进而根据,结合基本不等式求解即可.

    【详解】(1)解:设椭圆的焦距为,则,即

    所以,即

    又椭圆经过点,则

    ①②解得

    所以椭圆的方程为

    (2)解:当直线垂直于坐标轴时,点不能构成三角形,不符合题意,

    当直线不垂直于坐标轴时,设,则

    联立

    易知同号,

    所以

    当且仅当,即时等号成立,

    所以面积的最大值为

    21.已知函数

    (1)讨论的单调性;

    (2),证明:当时,

    【答案】(1)答案见解析

    (2)证明见解析

    【分析】1)先求定义域,再求导可得,分两种情况讨论的解集即可;

    2)先将问题转化为证明,又因为,所以,所以.构造函数,用导数求其最值即可求解

    【详解】(1)的定义域为

    时,令,得,令,得

    所以上单调递增,在上单调递减;

    时,令,得,令,得,

    所以上单调递增,在上单调递减.

    综上,当时,上单调递增,在上单调递减;

    时,上单调递增,在上单调递减.

    (2)时,要证,只需证

    即证,即证

    因为,所以

    所以

    ,则

    易得上单调递增,又

    时,,当时,

    所以上单调递减,在上单调递增,

    所以当时,

    22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

    (1)求曲线的直角坐标方程;

    (2)若直线与曲线交于两点,当时,求直线的普通方程.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】1)根据极坐标与直角坐标的互化公式求解即可;

    2)根据题意,结合直线参数方程的几何意义及弦长公式求解得直线的倾斜角,再求普通方程即可.

    【详解】(1)解:由

    因为

    所以,即.

    (2)解:将为参数,代入

    整理得

    所对应的参数分别为

    所以

    解得,所以

    故直线的参数方程为为参数)或为参数),

    所以直线的直角坐标方程为

    23.已知

    (1)时,求不等式的解集;

    (2)恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

    【解析】(1

    由题,当时,

       

    解不等式组

    解不等式组

    解不等式组

    所以原不等式的解集为

    (2)

    当且仅当异号时等号成立

    恒成立,只需,解得

    所以实数的取值范围为

     

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