


2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学(文)试题含解析
展开2023届河南省百校联盟高三上学期开学摸底联考全国卷数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合,,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据集合交集补集运算求解即可.
【详解】解:因为,,
所以或,所以.
故选:B.
2.命题“,”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【分析】由特称命题的否定需改变量词,否定结论可得.
【详解】命题“,”的否定为“,”.
故选:C.
3.若,满足约束条件,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先画可行域,再结合图象求出最优解,最后计算目标函数的最小值
【详解】
可行域如图所示,
当直线过点时,取得最小值.
所以的最小值为
故选:D.
4.已知点是角的终边上一点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义与二倍角公式计算求解即可.
【详解】解:因为点是角的终边上一点,
所以,,
所以.
故选:A.
5.已知向量,,且,若,则实数m的值为( )
A.0 B. C. D.
【答案】D
【分析】结合向量数量积的坐标表示与模的坐标表示求解即可.
【详解】解:因为向量,,且,
所以,得(舍)或,即,
所以,,
所以,解得.
故选:D.
6.如图,长方体中,,若直线与直线所成的角为,则该长方体的表面积为( )
A.48 B.32 C.24 D.12
【答案】C
【分析】由题知该长方体是棱长为2的正方体,再计算表面积即可.
【详解】解:连接,,,
因为在长方体中,,
所以,,又,
所以即为直线与直线所成的角,所以,
所以,
设,,解得,
所以该长方体是棱长为2的正方体,其表面积为.
故选:.
7.若直线与圆交于A,B两点,则当周长最小时,k=( )
A. B. C.1 D.-1
【答案】C
【分析】由直线方程可得直线恒过定点,由圆的几何性质可得当时,周长最小,由此可求的值.
【详解】直线的方程可化为
所以直线恒过定点,
因为
所以点在圆内,
由圆的性质可得当时,最小,周长最小,
又,
所以,此时.
故选:C.
8.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若对任意的,均有成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意可得,由对任意的,均有成立可得,,结合,即可得出答案.
【详解】由题意知,
因为恒成立,
所以在处取得最大值,
故,,即,,
因为,当时,取得最小值.
故选:B.
9.某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念,投入大量科研经费进行技术革新,该企业统计了最近6年投入的年科研经费x(单位:百万元)和年利润y(单位:百万元)的数据,并绘制成如图所示的散点图.已知x,y的平均值分别为,.甲统计员得到的回归方程为;乙统计员得到的回归方程为;若甲、乙二人计算均未出现错误,有下列四个结论:
①当投入年科研经费为20(百万元)时,按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6(百万元)(取);
②;
③方程比方程拟合效果好;
④y与x正相关.
以上说法正确的是( )
A.①③④ B.②③ C.②④ D.①②④
【答案】D
【分析】结合样本中心点过回归直线方程,已知数据,散点图等依次判断各命题即可得答案.
【详解】解:将代入,得,①正确;
将,代入得,②正确;
由散点图可知,回归方程比的拟合效果更好,③错误;
因为随的增大而增大,所以与正相关,④正确.故①②④正确.
故选:D.
10.已知,,,则( )
A.b>c>a B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
【答案】A
【分析】构造函数,利用导数判断其单调性即可解出.
【详解】令,则,
当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
,,,因为,所以.
故选:.
11.已知等差数列的前n项和为,且,则满足的正整数n的最大值为( )
A.11 B.12 C.21 D.22
【答案】C
【分析】由可知,则可知,由此即可选出答案.
【详解】因为,
所以
所以故,
所以满足的正整数的最大值为21.
故选:C.
12.已知定义域为的偶函数的图像是连续不间断的曲线,且,对任意的,,,恒成立,则在区间上的零点个数为( )
A.100 B.102 C.200 D.202
【答案】A
【分析】结合题意得是以4为周期的函数,且在一个周期内有两个零点,再根据周期性求解即可.
【详解】解:令,得,即,
因为对任意的,,,恒成立,
所以,在上单调递增,
因为为偶函数,
所以,在上单调递减,,
所以,
所以是以4为周期的函数,
因为在一个周期内有两个零点,
故在区间上的零点个数为.
故选:A.
二、填空题
13.若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为______.
【答案】2
【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.
【详解】解:复数是纯虚数,
,解得,
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及纯虚数的定义,属于基础题.
14.已知函数f(x)满足:①对,,;②.请写出一个符合上述条件的函数f(x)=______.
【答案】(答案不唯一,符合条件即可)
【分析】由条件对,,可推测在上可能为对数函数,再由确定其解析式.
【详解】因为对,,;
所以在上可能为对数函数,
故满足条件①,又,
所以,
故符合上述条件的函数可能为:,
故答案为:(答案不唯一).
15.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与交于两点(点在第一象限),若,则______.
【答案】
【分析】分别过点作准线的垂线,垂足为,过点作的垂线,垂足为,设,进而结合抛物线的性质求解即可.
【详解】解:如图,分别过点作准线的垂线,垂足为,
过点作的垂线,垂足为,
设,易得,则,
由抛物线的性质可得,,
所以,,解得,故.
故答案为:
16.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,且,则______.
【答案】
【分析】由利用余弦定理求得,再由利用正弦定理化边为角,结合内角和定理和两角和差正弦公式化简可求.
【详解】由得,
即,又,故,
由得,所以,
即,化简得
整理得,因为
所以,即.
故答案为:.
三、解答题
17.在①;②;③,三个条件中任选一个,补充到下面问题的横线处,并解答.
已知数列的前项和为,且,______.
(1);
(2)设求数列的前项和.
注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选①,用构造法可求得数列的通项公式,选②,利用与的关系,可求得数列的通项公式,选③,利用与的关系,先求得数列的递推关系,再用构造法可求得数列的通项公式
(2)利用错位相减法即可求解
【详解】(1)选①,由得,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
,所以.
选②,由得,
作差得,
符合上式,所以.
选③,由得
作差得,即,
即,即,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
,所以.
(2),
所以.
设,,
,
,
作差得,
化简得,
所以.
18.在实施“乡村振兴”的进程中,某地政府引领广大农户发展特色农业,种植优良品种柑橘.现在实验基地中种植了相同数量的、两种柑橘.为了比较、两个柑橘品种的优劣,在柑橘成熟后随机选取、两种柑橘各株,并根据株产量(单位:)绘制了如图所示的频率分布直方图(数据分组为:、、、、、):
(1)求、的值;
(2)将频率当做概率,在所有柑橘中随机抽取一株,求其株产量不低于的概率;
(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表),并从产量角度分析,哪个品种的柑橘更好?说明理由.
【答案】(1),
(2)
(3)品种的柑橘更好;理由见解析
【分析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得、的值;
(2)计算出、两个品种柑橘株产量不低于的频率,再利用频率、频数和总容量之间的关系可求得所求事件的概率;
(3)利用频率分布直方图计算出、两个品种柑橘株产量的平均值,利用平均值的大小关系或者从、两个品种柑橘株产量在及以上的占比判断可得出结论.
【详解】(1)解:由频率分布直方图可得,解得,,解得.
(2)解:品种柑橘株产量不低于的频率为,
品种柑橘株产量不低于的频率为,
故株柑橘中产量不低于的频率为,
所以在所有柑橘中随机抽取一株,其株产量不低于的概率为.
(3)解:A品种柑橘株产量平均数的估计值为,
,
设品种柑橘株产量平均数的估计值为,
,
品种的柑橘更好.理由如下:
方法一:的平均产量大于的平均产量.
方法二:由频率分布直方图可知,品种柑橘株产量在及以上的占比为,
品种柑橘株产量在及以上的占比为,故品种的柑橘更好.
19.如图,梯形ABCD中,,, ,,DE⊥AB,垂足为点E.将△AED沿DE折起,使得点A到点P的位置,且PE⊥EB,连接PB,PC,M,分别为PC和EB的中点.
(1)证明:平面PED;
(2)求点C到平面DNM的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)取PB中点,先证明平面平面PED,由此证明平面PED;
(2)利用等体积法可求点C到平面DNM的距离.
【详解】(1)如图,取PB中点,连接MQ,NQ,因为M,Q分别为PC和PB的中点,故.
又平面,平面PED,所以平面PED.同理平面PED.
又,平面,平面MNQ,所以平面平面PED.
因为平面MNQ,所以平面PED.
(2)因为,,,BE,平面BCDE,
所以平面BCDE,.
点到平面CDN的距离为,
所以.
又平面BCDE,故,
又因为,,,平面PED,
所以平面PED,又平面PED,
故,
所以,.
又,,,
,,,
故.
所以,.
所以.
又,设点到平面DNM的距离为,
则,即,得,
所以点C到平面DNM的距离为.
20.已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为点,求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题知,再待定系数求解即可得答案;
(2)结合题意设,,,则,进而根据,结合基本不等式求解即可.
【详解】(1)解:设椭圆的焦距为,则,即,
所以,即,①
又椭圆经过点,则,②
由①②解得,,
所以椭圆的方程为.
(2)解:当直线垂直于坐标轴时,点不能构成三角形,不符合题意,
当直线不垂直于坐标轴时,设,,,则,
联立得,
则,.
又,,
易知与同号,
所以
,
当且仅当,即时等号成立,
所以面积的最大值为.
21.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,证明:当时,.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)先求定义域,再求导可得,分和两种情况讨论和的解集即可;
(2)先将问题转化为证明,又因为,所以,所以.构造函数,用导数求其最值即可求解
【详解】(1)的定义域为,.
当时,令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减;
当时,令,得,令,得,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,要证,只需证,
即证,即证.
因为,所以,
所以.
设,则.
易得在上单调递增,又,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故,
所以当时,.
22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,当时,求直线的普通方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式求解即可;
(2)根据题意,结合直线参数方程的几何意义及弦长公式求解得直线的倾斜角,再求普通方程即可.
【详解】(1)解:由得,
因为,
所以,即.
(2)解:将(为参数,代入,
整理得.
设所对应的参数分别为,,
则,.
所以,
解得,所以或,
故直线的参数方程为(为参数)或(为参数),
所以直线的直角坐标方程为或
23.已知,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)
由题,当时, ,
① 或② 或③
解不等式组①得
解不等式组②得
解不等式组③得
所以原不等式的解集为.
(2)
当且仅当和异号时等号成立
即.
若恒成立,只需,解得,
所以实数的取值范围为.