2022届山东省青岛市高三下学期5月二模考试数学试题含解析

2022届山东省青岛市高三下学期5月二模考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意和补集、交集的运算依次求出和．

【详解】解：因为全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，

所以，4，，

又，2，4，，则，2，4，5，，

故选：C．

2．复数（是虚数单位）的虚部是（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.

【详解】由题意可知，，

所以复数的虚部为.

故选：A.

3．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．

【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，

由，，故C错误，

故选：A.

4．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.

【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为.

故选：C.

5．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取特殊值即可排除A、B选项；即可排除C选项；由单调性知D正确.

【详解】取，显然，A错误；，B错误；

若，无意义，C错误；若，则，D正确.

故选：D.

6．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦型函数、余弦型函数的周期性及单调性可判断AB，由正切函数的周期判断C，由正切型函数的性质判断D.

【详解】对于A，的周期为，时，当时，函数不单调，故错误；

对于B，的周期为，时，当时，函数单调递增，故正确；

对于C，的周期为，故错误；

对于D，的周期为，时，当时，函数单调递增，故单调递减，故错误.

故选：B

7．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解.

【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示

由题意可知，，所以,

所以,,所以,又,

所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，

所以这个几何体的外接球的体积为.

故选：B.

8．设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.

【详解】因为抛物线的焦点，

由题可知，，即抛物线方程为，

令代入抛物线方程，可得，

代入双曲线方程，可得，

可设，，，

由有

两边平方相减可得， ，

由有：，又

即，由有：

由，解得.故A，B，D错误.

故选：C.

二、多选题

9．已知，则下述正确的是（       ）

A．圆C的半径 B．点在圆C的内部

C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交

【答案】ACD

【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可

【详解】由，得，则圆心，半径，

所以A正确，

对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，

对于C，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆C相切，所以C正确，

对于D，圆的圆心为，半径，

因为，，

所以圆与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

10．已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（       ）

A． B．

C．平面 D．平面

【答案】BD

【分析】对A，根据判断即可；

对B，根据平面判断即可；

对C，举反例判断即可；

对D，同B中，证明平面判断即可；

【详解】对A，如图，根据正方体的性质有且，故平行四边形，故，故当且仅当在点时才有，故A错误；

对B，如图，由正方体的性质可得，平面，故，又，平面，故平面，故，同理，故平面，故，故B正确；

对C，当在时，，故平面不成立，故C错误；

对D，同B有平面，故平面平面，故平面成立，故D正确；

故选：BD

11．已知函数的定义域为，，则下述正确的是（       ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】AC

【分析】根据函数的奇偶性及对称性即可求解.

【详解】因为，所以，

所以为奇函数，故A正确；B错误；

因为，所以，

所以的图象关于直线对称，故C正确；

所以，所以的图象不关于点对称，故D不正确.

故选：AC.

12．已知，若，，则下述正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据对数的运算性质以及分段函数的处理策略求解.

【详解】因为，且，所以，

故A正确；

当时，，，，

所以，故B错误；

对于C选项，当，，由对数的性质和运算法则有

，当，时，，

当中有1个大于等于1，不妨设，，则，则

 ，故C正确；

当时，，所以，当时，，

由对数的运算法则有：，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________.

【答案】52

【分析】利用分层抽样的性质直接求解．

【详解】解：由分层抽样的性质得：

女生应该抽取：．

故答案为：52．

14．若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.

【答案】-1.5

【分析】已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．

【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，

则，，

又，

则，

故答案为：．

15．将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则___________.

【答案】

【分析】利用等比数列前项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.

【详解】解：设公差为，

因为该数阵第n行共有个数，

则前4行共有个数，

所以第5行第6列数为，

则，

所以．

故答案为：．

四、双空题

16．如图所示，A，B，C为三个村庄，，，，则___________；若村庄D在线段BC中点处，要在线段AC.上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，则该最小值为___________.

【答案】     60°    

【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进行处理.

【详解】在中，由余弦定理有：

又，所以.

如图，作D关于AC的对称点F，则DE=FE，DC=FC=4，

，所以，当且仅当

B，E，F三点共线时，BE+EF最小.

.

所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，

当且仅当B，E，F三点共线时，等号成立.

故答案为：，.

五、解答题

17．从①；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答

：在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.

(1)求角A；

(2)若外接圆的圆心为O，，求BC的长.

注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.

（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.

【详解】(1)解：选择条件①：

因为，由正弦定理，可得，

即，所以.

因为，所以.

选择条件②：

因为

所以，即.

因为

所以

所以，.

(2)由题意，O是外接圆的圆心，所以，

所以

故此.

在中，由正弦定理，，即，解得.

18．已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设数列的公比为q，根据等差中项的性质，结合等比数列的基本量列式求解即可；

（2）先确定，进而根据等差数列的通项公式得出，再根据等差数列前项和的公式结合求解即可

【详解】(1)设数列的公比为q，由题意知：，

所以，解得或（舍），所以.

(2)由题知：，，，，…，是以8为末项，2为公差的等差数列，

所以，解得，

所以，

所以

所以，即，解得或.

19．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.

(1)设平面平面，证明：；

(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；

（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为，再根据线面角的向量方法求得，根据二次函数的最值求解即可

【详解】(1)因为四边形OBCH为正方形，∴，

∵平面POH，平面POH，∴平面POH.

∵平面PBC，平面平面，∴.

(2)∵圆锥的母线长为，，∴，，

以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，，

，为平面PAB的一个法向量，

设MN与平面PAB所成的角为，

则，令，

则

所以当时，即时，最大，亦最大，此时，

所以.

20．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个不同的零点，为其极值点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）对函数求导后，分和两情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，

（2）由（1）可知函数的极值点为，从而得，再由是函数 的两个不同的零点，可得，设 ，将问题转化为证，设 ，只需证明: ，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可

【详解】(1)，

，

当 时， 在 上为减函数；

当 时，

由 得: 在 上为增函数；

由 得: 在 上为减函数

(2)由 （1） 可知: 且当 时， 取极大值为

从而 的最大值为

为满足题意，必有，即，

设 ， 则 ，

当 时， ， 所以 在 上单调递増；

当 时， ， 所以 在 上单调递减，

所以 ， 从而 ，

，

是函数 的两个不同的零点，

，

两式相减得: .

设 ， 所以要证明: ，

只需要证明: .

即证明: ， 也就是证明: ，

设 ， 下面就只需证明: ，

设 ， 则 ，

在 上为增函数， 从而 ，

成立， 从而

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是根据题意将问题转化为证明成立，令，再次将问题转化为，然后构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题

21．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.

（i）证明：；

（ii）证明：直线AB过定点.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.

(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.

（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.

【详解】(1)解：由题知，，的面积等于，

所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.

(2)（i）设直线PA的方程为，

直线PB的方程为，由题知，

所以，所以，

同理，，

所以，是方程的两根，所以.

（ii）设，，设直线AB的方程为，

将代入得，

所以，①

，②

所以，③

，④

又因为，⑤

将①②③④代入⑤，化简得，

所以，所以，

若，则直线，此时AB过点P，舍去.

若，则直线，此时AB恒过点，

所以直线AB过定点.

22．为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图

(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；

(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布

（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；

（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.

参考数据：

①；

②若，则

【答案】(1)7.03

(2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析.

【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；

（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.

【详解】(1)由可得中位数在区间内，

设中位数为，则，解得；

(2)（i）由可得，

则，只；

（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，

设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，

所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.