2023届河南省名校联盟高三上学期9月联考数学（理）试题含解析

2023届河南省名校联盟高三上学期9月联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求解一元二次不等式得到集合，再利用交集运算即可求解.

【详解】解：因为，所以或，

又，所以.

故选：D.

2．已知复数，且，，则（       ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算及复数相等即可得解.

【详解】，，

，，

解得，，

故选：C

3．若的边上两点，满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量加法求解即可.

【详解】若是等边三角形时，，故A，B错误

因为，所以是的三等分点，

设的中点，则也是的中点，

所以，，即.故C正确；

若，则，，D错误

故选：C

4．已知函数,如图是给定的值，求其对应的函数值的程序框图，则（       ）

A．①处填否，②处填是 B．①处填是，②处填否

C．①处填是，②处填是 D．①处填否，②处填否

【答案】A

【分析】根据程序框图的运算规则，结合分段函数的性质即可求解.

【详解】解：由题可知，当时，，故②处应填是；

当时，，故①处应填否.

故选：A.

5．若，满足约束条件则的最小值为（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】画出可行域，根据目标函数，求出最小值.

【详解】解：根据，满足约束条件画出可行域如图（阴影部分），

由图可知，在处取得最优解，.

所以的最小值为.

故选：D.

6．已知甲、乙两班各50人，下表为某次数学考试的成绩情况：

各分数段成绩视为均匀分布，有以下结论：①甲班平均成绩低于乙班；②甲班成绩的中位数与乙班相同；③甲班成绩的方差比乙班成绩的方差小．其中正确的序号是（       ）A．①              B．①③              C．②③              D．①②③

【答案】B

【分析】根据题干中数据，分别计算甲乙两班的平均数，中位数及方差即可求解.

【详解】解：由题可知，，

，

所以甲班的平均成绩低于乙班的平均成绩，故①正确；

因为甲班的中位数位于分数段，乙班的中位数位于分数段，

所以甲班的中位数低于乙班的中位数，故②错误；

因为，

，

所以甲班成绩的方差比乙班成绩的方差小，故③正确.

综上，正确的序号是①③.

故选：B.

7．已知等差数列满足，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出首项，即可得解.

【详解】设等差数列的公差为，

则

，

即，解得.

又，解得.

所以，

故选：B

8．下列四个选项中的函数，其图象可能是下图的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图象的奇偶性及图象所过特殊点判断所给解析式即可.

【详解】由已知，函数图象为过原点的奇函数，

A中，D中由解析式知，函数为偶函数，故不正确；

B中，当时，无意义，故B不正确；

故选：C

9．已知抛物线上有三点，，，的垂心在轴上，，两点的纵坐标分别为，，则点的纵坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知得出，两点的坐标，设出点和垂心的坐标，利用和，列方程组，消去解出，得到点的纵坐标．

【详解】点在抛物线上，纵坐标为，则，同理可得，设点，垂心，则，，即，化简得：，消去可得，解得或(舍)

故选：B

10．在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则下列选项中不正确的是（       ）

A．平面 B．平面

C．平面平面 D．点到平面的距离为1

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，由面面垂直的性质定理可得平面，得出，再由可得线面垂直，即可判断B，由B及平面平面可得矛盾，判断C，利用，转化为求点到平面的距离即可判断D.

【详解】如图，

对于A，取PB的中点为N，连接MN，MD，CN.

则，且 ，故四边形MNCD是平行四边形﹐则MD //CN ,故 MD//平面PBC，故A 正确；

对于B，易求得，则，而平面平面，是交线，故平面PAD，则，而由与可知，，故平面PBD，故B正确；

对于C，由选项B知，若平面PCD平面PAD，因为是交线，则PA平面PCD，与 PA平面PBD矛盾，故C错误；

对于D，连接AC交BD于，则，即，故A 到平面PBD的距离为C到平面PBD的距离的2倍，而平面PBD，且，故C到平面PBD的距离为1，故D正确.

故选：C.

11．已知四点，，，，四边形有内切圆，则点的轨迹是（       ）

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

【答案】C

【分析】由四边形有内切圆知，其对边和相等，即，进而得到，利用双曲线的定义可以判断点的轨迹.

【详解】由四边形有内切圆知，其对边和相等，即，又因为，，

所以，即点到两定点的距离之差为1，由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的一部分.

故选：C.

12．已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用反函数的性质、倍角公式以及切线方程进行求解.

【详解】因为与互为反函数，故图像关于对称，

设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，

如图，

设，则，即，解得或-3（舍去），

故，易求得曲线的斜率为2的切线方程为，

故曲线的斜率为2的切线方程为，

的斜率为2的切线方程为，故曲线的斜率为2的切线方程为，

所以，则，则.故A，B，D错误.

故选：C.

二、填空题

13．已知数列为等比数列，，，则______．

【答案】

【分析】利用等比数列的基本量运算，先求出，进而可得的值．

【详解】设等比数列的公比为，则，即，，，

故答案为：.

14．从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士支援一线抗疫，护士甲恰被选中的概率为______．

【答案】0.5

【分析】利用组合数计算不同取法总数、护士甲被选中的取法数，由古典概型求解即可.

【详解】任选1名医生、2名护士共有种不同的取法，

其中护士甲恰被选中共有种不同的取法，

故护士甲恰被选中的概率，

故答案为：

15．已知函数，则的解集为______．

【答案】

【分析】先求解函数的奇偶性及单调性，根据奇偶性和单调性求解不等式即可.

【详解】解：由题可得，函数的定义域为，，

令，则，

又，，

所以函数为奇函数，函数为偶函数，

当时，，设，

则，

因为，则，所以，

所以函数在区间单调递减，所以，

因为函数为奇函数，所以，

又，，所以，则，

所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，

因为，所以，

即，故，

解得.

故答案为：.

16．已知球的半径为，球面上有不共面的四个点，，，，且，则四面体体积的最大值为______．

【答案】

【分析】取的中点为，求出，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，、两点到平面的距离分别为、，即可求出及，从而得到，再令，利用导数求出函数的最大值，最后根据计算可得.

【详解】解：如图，取的中点为，则，

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

、两点到平面的距离分别为、，则，

，所以，

令，则，

所以当时，所以，

所以，

当且仅当且平面时取等号，即四面体体积的最大值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列满足，，为等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)求满足不等式的最大正整数．

【答案】(1)

(2)62

【分析】（1）求出首项和公差，进而求出通项公式；

（2）利用第一问求出的通项公式，利用累乘法化简得到，

得到不等式，求出最大正整数解.

【详解】(1)，，

因为为等差数列，所以公差，

所以，

故

(2)由（1）得：，

，

所以，即，

因为，，

所以满足不等式的最大正整数为62.

18．每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关．

附：，其中．

【答案】(1)48.6

(2)列联表见解析，有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关

【分析】（1）根据频率分布直方图，计算平均值即可求解；

（2）根据频率直方图得到，常参加体育锻炼人员“睡眠足”与“睡眠不足”的人数，不常参加体育锻炼人员“睡眠足”与“睡眠不足”的人数，完善列联表，计算的值，即可求解.

【详解】(1)解：由频率分布直方图可得：

，

所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间.

(2)解：常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，

则“睡眠不足”的人数为25；

不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,

则“睡眠不足”的人数为45，

列联表如下：

因为，

所以有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.

19．在平面四边形中，，，．

(1)若，求；

(2)若的中点为，．求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，利用已知条件及几何关系可得，在中利用正弦定理及商数关系得到关于的方程，即可求解；

（2）设，，利用几何关系求解的表达式，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解的值即可得出结论.

【详解】(1)解：设，因为，所以，

又，所以，

在中，由正弦定理可得，所以

所以，即，

解得，

因为，所以，所以.

(2)解：设，，

因为中，为中点，所以，，

作，则矩形中，，，

因为中，，所以，，

在中，由余弦定理可得，

即

整理得，即，

解得，即.

20．在三棱柱中，平面平面，三角形是等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性质定理和判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，由求解.

【详解】(1)证明：因为，，，

所以，

则，即，

所以，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面；

(2)建立如图所示空间直角坐标系：

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，

所以，

所以，

即二面角的正弦值为.

21．已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，从而求出，即可得解；

（2）设，，，依题意可得四边形为平行四边形，从而得到，当直线的斜率不存在时直接求出四边形的面积，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，由 ，即可得到，再由弦长公式表示出及原点到直线的距离，从而求出四边形的面积，即可得解.

【详解】(1)解：依题意，又，所以，

所以，

所以椭圆方程为.

(2)证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，

且，所以，即，

又，，所以，

若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，

则，所以，

所以，

若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，

所以，，，

所以

所以，

整理得，

又，

又原点到的距离，

所以，

将代入得，

所以，

综上可得，四边形的面积为定值.

22．已知函数．

(1)当时，证明：时，；

(2)当时，证明：在上有3个零点．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）代入，构造函数，利用导数求解函数的单调性，利用单调性即可求解；

（2）先求导数，构造函数，利用函数的导数，分类讨论函数的单调性及最值，进而得到函数的单调性，结合零点存在定理即可证明.

【详解】(1)解：当时，，

令，则，

故函数在上为增函数，

则当时，，故.

(2)解：因为，所以，

设，则，令，解得，

当时，，为减函数，又，

故，使得，则，解得，

故函数在区间上的最大值为，

由得，故，

又，

故在上，各有1个零点.

在区间上，，为增函数，

，

故，使得，

在上，，为减函数，，故无零点，

在上，，为增函数，又，

，

故在上，仅有1个零点.

综上，在上有3个零点.

【点睛】本题考查用导数求函数的极值，考查零点存在定理，解题关键是需要导函数进一步求导，以便确定导函数的单调性与零点的存在性，从而得出函数的性质.本题属于较难题.