必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

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1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；
2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；
3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；
4.数学运算：五点作图；
5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.
重点：正弦函数、余弦函数的图象．
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
预习导入
阅读课本196-199页，填写。
1．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cs x(x∈R)的图象分别叫做__________曲线和________曲线．
(2)图象：如图所示．
2．“五点法”画图
步骤：(1)列表：
(2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；
画余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向______平移eq \f(π,2)个
单位长度即可．
1.用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1)) C.(π，0) D.(2π，0)
2.下列图象中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是( )
3.函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点有________个.
题型一 作正弦函数、余弦函数的简图
例1画出下列函数的简图
(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－csx，x∈[0,2π]．
跟踪训练一
1.画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
2. 在给定的直角坐标系如图4中，作出函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x＋eq \f(π,4))在区间[0，π]上的图象．

图4
题型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋eq \r(16－x2)的定义域.
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
跟踪训练二
1.函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为_________________________________.
2. 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
1．函数y＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝eq \f(π,2)
2．函数y＝－cs x的图象与余弦函数y＝cs x的图象( )
A．只关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点、x轴对称 D．关于原点、坐标轴对称
3．如果x∈[0,2π]，则函数y＝eq \r(sin x)＋eq \r(－cs x)的定义域为( )
A．[0，π] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
4．在(0,2π)内使sin x>|cs x|的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))
5．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x (0≤x≤2π)； (2)y＝1＋cs x(0≤x≤2π)．
6．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R； (2)y＝sin|x|，x∈R.
答案
小试牛刀
1．A.
2．D.
3．两.
自主探究
例1【答案】见解析
【解析】(1)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．
图1
(2)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图2)．
图2
跟踪训练一
1.【答案】见解析．
【解析】按三个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图3)．
图3
2. 【答案】见解析．
【解析】列表取点如下：
描点连线作出函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x＋eq \f(π,4))在区间[0，π]上的图象如图5所示．

图5
例2 【答案】见解析.
【解析】由题意，得x满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,16－x2≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,sin x>0，))
作出y＝sin x的图象，如图所示.
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
例3 【答案】见解析.
【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个
跟踪训练二
1.【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
【解析】 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥eq \f(1,2).由y＝sin x在[0,2π]的图象，
可知eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5,6)π，又有y＝sin x的周期性，
可得y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
2.【答案】m∈(－1，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，0).
【解析】由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1有两个根.
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.
由y＝sin x图象可知：
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
解得－1＜m＜0，且m≠－eq \f(1,2).
∴m∈(－1，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，0).
当堂检测
1-4.DCCA
5．【答案】见解析.
【解析】 利用“五点法”作图．
(1)列表：
描点作图，如图所示．
(2)列表：
描点作图，如图所示．
6．【答案】见解析.
【解析】 (1)y＝|sin x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x 2kπ≤x≤2kπ＋π,－sin x 2kπ＋π其图象如图所示，
(2)y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x x≥0,－sin x x<0))，
其图象如图所示，
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
cs x
1
0
－1
0
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋sinx
1
2
1
0
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
csx
1
0
－1
0
1
－csx
－1
0
1
0
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
1
0
y＝|sinx|
0
1
0
x
0
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
π
2x＋eq \f(π,4)
eq \f(π,4)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(9π,4)
f(x)
1
0
－eq \r(2)
0
eq \r(2)
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
1＋cs x
2
1
0
1
2