2021-2022学年河南省高二上学期学业水平考试数学试题含解析

2021-2022学年河南省高二上学期学业水平考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据补集定义求解．

【详解】由题意．

故选：B．

【点睛】本题考查补集的定义，属于简单题．

2．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．R

【答案】C

【分析】由二次根式下被开方数非负可得．

【详解】由题意函数定义域是．

故选：C．

【点睛】本题考查求函数定义域，掌握基本初等函数定义域是解题关键．

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（       ）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱台 D．圆台

【答案】D

【分析】根据简单几何体（柱、锥、台、球）的三视图确定．

【详解】由柱、锥、台、球的三视图知题中三视图是圆台的三视图．

故选：D．

【点睛】本题考查三视图，掌握基本几何体的三视图是解题基础．

4．同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出同时掷两个均匀骰子出现的所有基本事件数，及点数和为7的所有基本事件数，然后可计算概率．

【详解】同时掷两个均匀骰子，基本事件有种，其中点数和为7的有16,25,34,43,52,61共6种，所以概率为．

故选：C．

【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数．可用列举法．

5．函数的零点的个数为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】求导数，确定函数的单调性，用零点存在定理判断．

【详解】由题意，由得，当时，，递减，当时，，递增，

记，显然，而，因此，

又，，

所以函数在上有一个零点，在上有一个零点．共2个零点．

故选：B．

【点睛】本题考查函数的零点，利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理确定零点个数．零点存在定理保证有零点，单调性保证唯一性．

6．直线l经过点，倾斜角是135°，则直线l的方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出斜率，写出斜截式方程再化为一般式．

【详解】由题意直线斜率为，直线方程为，即．

故选：A．

【点睛】本题考查直线方程的斜截式，属于基础题．

7．下列函数中，在R上是增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断．

【详解】中函数定义域是，中函数定义域是，其中是减函数，是增函数．

故选：D．

【点睛】本题考查函数的单调性，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．

8．在等比数列中，，，则其前10项和是（       ）

A．511 B．1023 C．1024 D．2047

【答案】B

【分析】求出公比和首项，由等比数列前项和公式计算．

【详解】设公比为，

则，，

所以．

故选：B．

【点睛】本题考查等比数列前项和公式，掌握等比数列的前项和公式基本量运算是解题关键．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（       ）

A．10 B．45 C．55 D．66

【答案】C

【分析】模拟程序运行，判断循环条件，确定程序功能，可得结论．

【详解】模拟程序运算，根据判断条件得．

故选：C．

【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，考查等差数列的前项和公式．此类问题的解题方法是模拟程序运行，观察变量值的变化，得出结论．

10．已知对数函数的图象过点，则（       ）

A．-3 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】设后求出函数解析式，再求函数值．

【详解】设，因为函数图象过点，所以，，

所以，．

故选：D．

【点睛】本题考查对数函数的解析式．求对数函数值，掌握对数函数的定义是解题关键．

11．已知样本数据，，，，，的平均数为5，方差为2，则样本数据，，，，，的平均数和方差分别为（       ）

A．8和2 B．8和5 C．5和3 D．5和8

【答案】A

【分析】由新数列与原数据之间的线性关系求均值和方差．

【详解】样本数据，，，，，的平均数为5，方差为2，

则样本数据，，，，，的平均数是，方差是．

故选：A．

【点睛】本题考查均值和方差，掌握均值和方差的性质是解题关键．样本数据，，，，，的平均数是，方差是，则新样本数据：的均值为，方差为．

12．若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．

解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；

由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．

∴取交集可得，α是第二象限角．

故选B．

【解析】三角函数值的符号．

13．的三边长分别为3，5，7，则的形状是（       ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【答案】C

【分析】求出最大值角的余弦值后可判断．

【详解】设最大角为，则，是钝角，三角形为钝角三角形．

故选：C．

【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理判断三角形形状．解题时求出最大角的余弦即可判断．

14．函数是（       ）

A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数

【答案】D

【解析】首先根据诱导公式得到，再求函数周期和判断奇偶即可得到答案.

【详解】，.

设，定义域为，

，所以为偶函数.

故选：D

【点睛】本题主要考查三角函数的周期和奇偶，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，，则B=（       ）

A．45° B．60° C．60°或120° D．45°或135°

【答案】D

【分析】由正弦定理求解．

【详解】由正弦定理得，

因为，即，所以或．

故选：D．

【点睛】本题考查正弦定理，解题时注意可能有两解．

16．函数的图象关于（       ）

A．y轴对称 B．直线对称

C．坐标原点对称 D．直线对称

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性后可得．

【详解】，所以，函数为偶函数，图象关于轴对称．

故选：A．

【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．

二、填空题

17．函数的值域是_______.

【答案】

【分析】确定函数的单调性可得最大值和最小值，从而得值域．

【详解】因为函数和在上都是增函数，

所以在上是增函数，所以，，

函数值域为．

故答案为：．

【点睛】本题考查求函数的值域，考查对数函数的性质，确定函数单调性是求函数值域的常用方法．

18．“敬业”餐饮店为了研究每天卖出的热茶杯数与当天气温的关系，收集了若干数据，并对其进行分析，得到每天卖出的热茶杯数y（杯）与当天气温x（℃）的回归方程为.当某天的气温是-2℃时，预测这天卖出的热茶杯数为_______.

【答案】61

【分析】直接把代入回归方程求出．

【详解】时，．

故答案为：61．

【点睛】本题考查回归直线方程，用回归方程进行总体估计．属于简单题．

19．不等式的解集是______.

【答案】

【分析】确定相应二次方程的解，根据二次函数性质确定不等式的解集．

【详解】原不等式可化为，．

故答案为：．

【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次之间的关系是解题关键．

20．已知直线，，若，则m=_______.

【答案】4

【分析】根据两直线平行的充要条件求解．

【详解】∵，∴，解得．

故答案为：4．

【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，掌握两直线平行的判断方法是解题关键．

21．的值为_______.

【答案】

【分析】由两角和的正弦公式化简求值．

【详解】．

故答案为：．

【点睛】本题考查两角和的正弦公式，掌握两和与差的三角函数公式是解题基础．

22．长方体的顶点都在同一球面上．且，，，则该球的半径是______．

【答案】

【分析】求出长方体的体对角线长，可得出该长方体的外接球半径.

【详解】长方体的体对角线长为，

因此，长方体的外接球半径为.

故答案为：.

23．己知x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】4

【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由得，利用平移求出最大值即可．

【详解】解：不等式对应的平面区域如图：

由得，平移直线，

由平移可知当直线，经过点时，

直线的截距最小，此时取得最大值，

由，解得，即，代入得，

即的最大值是4，

故答案为：4．

三、解答题

24．已知．求的值．

【答案】

【分析】进行弦化切后，把即可求解.

【详解】因为，

所以将代入上式，得．

25．求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.

【答案】

【分析】求出圆心到切线的距离即为圆半径，从而得圆标准方程．

【详解】解：根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离

.

所以圆的半径.

所求圆的方程是.

【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是求出圆半径，利用圆的切线性质得圆半径等于圆心到切线的距离

26．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，.

（1）求；

（2）求的余弦值.

【答案】（1）-16（2）

【分析】（1）求出向量坐标，由数量积的坐标运算计算数量积；

（2）根据数量积的定义可求得两向量夹角余弦值．

【详解】解：（1）由已知，得，.

所以.

（2）.

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查求向量夹角，掌握数量积的坐标运算是解题关键．

27．从某部门参加职业技能测试的2000名员工中抽取100名员工，将其成绩（满分100分）按照，，，分成4组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计该部门参加测试员工的成绩的中位数；

（2）估计该部门参加测试员工的平均成绩.

【答案】（1）中位数为70分.（2）平均成绩为68分.

【分析】（1）频率分布直方图中中位数把频率等分，即在频率分布直方图中中位数对应的点（过此点与轴垂直的直线）把矩形的面积等分，由此可计算中位数；

（2）用各组中点值作为这组的估计值乘以频率的相加．

【详解】解：（1）设中位数为x分.

因为前2组频率之和为，

而前3组频率之和为，

所以.

由　

解得.

故可估计该部门参加测试员工的成绩的中位数为70分.

（2）抽取的100名员工的平均成绩

.

故可估计该部门参加测试员工的平均成绩为68分.

【点睛】本题考查频率分布直方图，考查中位数，均值，掌握频率分布直方图中中位数、均值的求法是解题基础．

28．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面ABC，，，，，求三棱柱的体积.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】（1）设，连接DE，由中位线定理得，从而有线面平行；

（2）求出底面积，由体积公式可得体积．

【详解】证明：（1）设，连接DE.

因为四边形是平行四边形，所以E是的中点.

在中，因为，，所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

解：（2）因为平面ABC.

所以为三棱柱的高.

的面积.

所以三棱柱的体积.

【点睛】本题考查证明线面平行，考查求棱柱的体积．掌握线面平行的性质定理是解题基础．

29．已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）时，由已知式得，再由已知式写出，用代换后所得等式，两式相减可得，注意是否适合此表达式；

（2），用裂项相消法求数列的和．

【详解】解：（1）当时，得.

当时，由，知

，

两式相减，得，

整理，得.

当时，上式仍成立.

所以数列的通项公式为.

（2）.

所以.

【点睛】本题考查由数列的和求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．掌握由到的方法是解题基础．数列求和中有一些常用方法要注意掌握，如错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等．