2023届北京市北京实验学校高三上学期9月练习数学试题含答案

这是一份2023届北京市北京实验学校高三上学期9月练习数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市北京实验学校高三上学期9月练习数学试题 一、单选题1．已知集合，，且，那么的值可以是A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为,故集合B能取遍一切小于等于1的实数，则m>1,故选D2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性的定义结合基本函数的性质逐个分析判断.【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以此函数为奇函数，所以A错误，对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以此函数为偶数，因为的对称轴为轴，开口向上，所以此函数在上递增，所以B错误，对于C，定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以此函数为偶函数，当时，，则，当时，，当时，，所以函数在递减，在上递增，所以C错误，对于D，函数的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，因为在上递减，，所以在上单调递减，所以D正确，故选：D3．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数的几何意义得到复数，结合复数乘法运算得到结果.【详解】∵复数对应的点的坐标为，∴，∴，故选：A4．已知角α的终边经过点，那么的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据任意角三角函数定义，结合诱导公式，可得答案.【详解】由题意，，根据诱导公式，.故选：B.5．设，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案.【详解】因为，由得，，所以，即，所以A选项错误;根据函数在定义域上单调递增，且得，，所以B选项错误;因为，所以，都为正数，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，所以等号不成立，即，所以C选项正确;因为，所以，又因为函数在单调递增，所以，所以D选项错误;故选:C.6．已知等差数列满足，则中一定为0的项是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.7．在中，已知，则下列结论中不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，根据不同类型三角形内角的性质，结合三角函数的单调性，可得答案.【详解】由题意，①当是锐角三角形时，；②当是直角三角形时，；③当是钝角三角形时，；对于A，由，根据正切函数的单调性，可得，故A正确；对于B，由，根据余弦函数的单调性，可得，故B错误；对于C，由，根据正弦函数的单调性，可得，故C正确；对于D，当为锐角三角形或钝角三角形时，由，根据正弦函数的单调性，可得，当是钝角三角形时，由，则，又因，所以，故，故D正确；故选：B.8．已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是A． B． C． D．【答案】B【详解】∵在上是增函数，且，中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：；或由于实数是函数的一个零点，当时，当 时，故选B9．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果【详解】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件故选：C10．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（    ）A．11% B．22% C．33% D．100%【答案】C【解析】根据题意，分别表示出等于1000和10000时对应的，相比即可求得答案.【详解】由题意得比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.所以，所以，所以C大约增加了33%.故选：C 二、填空题11．在中，∠A＝，则的面积为_________【答案】0.75【分析】由三角形面积公式代入即可.【详解】由三角形面积公式得,故答案为：12．函数的定义域为_________．【答案】【分析】根据定义域的求解方法即可.【详解】要使函数有意义，则，解得且，故答案为:.13．设函数，若，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】分和两种情况求解即可.【详解】当时，由，得，即，得，，所以，当时，由，得，，所以，综上，，即实数的取值范围是，故答案为：. 三、解答题14．已知函数．(1)求及的值；(2)求函数的单调递增区间．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据解析式直接求解即可；（2）根据两角和的正弦公式，结合二倍角与辅助角公式化简可得，再代入正弦函数的单调递增区间求解即可.【详解】(1)(2) ， 由函数的递增区间是得即所以的单调递增区间为．15．已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项之积为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）由数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式及是和的等差中项列方程求出，从而可得的通项公式；（2）令，即，可得正项数列的前项大于，第项等于，以后各项均小于，所以的最大值为 ．试题解析：（1）因为 是和的等差中项，所以 ．   因为数列是公比为的等比数列，所以 ， 解得 ．                                                   所以 ．                                         （2）令，即，得，                                  故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1．     所以 当，或时，取得最大值，                          的最大值为 ．16．在中，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若是钝角三角形，求边上的高．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)根据正弦定理，结合题中条件，可直接求出结果；(Ⅱ) 先由余弦定理求出或，根据是钝角三角形，分别讨论和，即可求出结果.【详解】（Ⅰ）在中，因为，，，所以由正弦定理  得. （Ⅱ）由余弦定理 得即，解得或   因为，所以为中最大的角，当时，，与为钝角三角形矛盾，舍掉当时，，为钝角三角形，所以  设边上的高为，所以 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.17．已知函数（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;（Ⅱ）当时,求函数在区间上的最小值.【答案】（Ⅰ）递增,在递减；（Ⅱ）时,时,.【详解】试题分析：（Ⅰ）代值，求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（Ⅱ）求导，通过讨论的范围研究导函数的符号和函数的单调性，进而确定函数的最值.试题解析：（Ⅰ）当时,令解得:令解得:在递增,在递减;（Ⅱ）由得:,令解得①时,即时,对恒成立,在递增,;②当时,即时,在上的情况如下:01 0  递减极小值递增  综上,时,时,.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步，利用分类讨论求函数的最值，分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一，学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清，如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.18．已知函数，函数，其中．(1)如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程；(2)如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．【答案】(1)，(2)或. 【分析】（1）和在处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解a的值，以及切线l的方程；（2）设函数，则将原问题转化为有有唯一解，然后对a进行分类讨论即可.【详解】(1)，由题意，公共切线的斜率，即   又因为，所以切线方程为．(2)设函数．   曲线与有且仅有一个公共点等价于“函数有且仅有一个零点”．   ①当时，当时，，所以在单调递增．又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．.②当时，令，解得与的变化情况如下：0↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，故有且仅有一个零点，符合题意．③当时，令，解得．与的变化情况如下：0↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时， ， 因为，，且在上单调递增， 所以又因为存在，使得所以存在使得，所以函数存在两个零点，与题意不符，综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是或.【点睛】方程的根，函数的零点，图象与x轴的交点属于一类问题，常用的方法有三个：构造函数法，这种方法往往需要讨论参数，进而研究函数的零点个数，上述解法就属于这一种，还有一种比较简单的就是参变分离法，等价于，这种方法需要注意，讨论时的情况，问题就转成立研究的图像，优点就是研究的函数没有参数；最后一种，有时零点问题也可以转成两个函数图象的交点问题，小题用此法比较多.19．已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3) 【分析】(1)根据新定义的理解即可得出结果；(2)根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围；(3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，将问题转化为对恒成立，对k的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可.【详解】(1)数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）.(2)由题意，，即   ，则.又数列符合题意，所以的最大值为3.(3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，则对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立.当时，有；当时，，即；当时，有恒成立，即当时，.令当时，，所以在单调递减，所以当4时，. 同理，令，则在上单调递减，即4时，.则，即.令，当时，，所以在上单调递减.又由于，所以，存在(6，7)，使得，所以的最大值为6．【点睛】对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等. 四、双空题20．函数的最小正周期_____，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像．若函数的最大值为2，则的值可以为_____．【答案】          (答案不唯一，一个即可)【分析】根据题意，对 利用辅助角公式作恒等变换，转化为单一三角函数，即可求出 .【详解】最小正周期 ；将 向左平移 个单位，得到 ，y= ，令 ，则y= = = ，其中， ，由题意， ，解得 ，故答案为：最小正周期为 ， .21．已知函数（为常数）．若，则________；若函数存在最大值，则的取值范围是________．【答案】          【分析】（1）分别在和两种情况下求得，利用求得；（2）当时，求导得；当时，可知时，不存在最大值，不符合题意；当时，可得在上的单调性，得到；分别在、和三种情况下验证时函数的最大值，可得时，，从而得到结果.【详解】（1）当时，，满足题意；当时，，不合题意；（2）当时，    ①若，则        在上单调递减此时，当时，，当时，，不合题意②若，则时，；时，在上单调递增，在上单调递减    此时，当时，若，则当时，，不合题意若，，此时，满足题意若，则，此时，满足题意综上所述：时，存在最大值故答案为；【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.