2023届河南省高三上学期阶段性测试（四）数学（文）试题含答案

2023届河南省高三上学期阶段性测试（四）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的性质解得集合B，然后根据集合运算得解.

【详解】因为，所以.

故选：B.

2．的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据三角形面积公式，即可求解.

【详解】因为，所以，解得.

故选：C

3．已知点在函数的图象上，且在第二象限内，若的图象在点处的切线斜率为1，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出导函数，设，由求得（注意点在第二象限）即可得．

【详解】设点，因为，所以，由，得，又，所以点的坐标为.

故选：A．

4．已知分别为的内角的对边，命题：若，则为钝角三角形，命题：若，则.下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别判断两个命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假.

【详解】因为，所以，则为真命题.因为，所以，又在上是减函数，所以，则为假命题，只有为真命题.

故选：B

5．若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，再利用两角和的余弦公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以

．

故选：B

6．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，进而利用奇偶性和单调性解不等式即可.

【详解】因为的定义域为R，且，所以是偶函数．

又函数在上是增函数，

所以在上是增函数，

由，可得，

所以，解得．

故选：D.

7．由三角形的三边求出该三角形的面积，在古代很长一段时间都是个困难的问题.古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式，其中，这个公式叫海伦公式.现有一个周长为24的等腰三角形，其最长边比最短边大6，则这个三角形的面积为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】D

【分析】首先设等腰三角形底边长为，讨论是否为最短边，利用周长求出，再代入面积公式，即可求解.

【详解】设等腰三角形的底边为，当是最短边时，，由，得，所以，则.

当是最长边时，，由，得，所以，

因为，所以不能构成三角形.

故选：D

8．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）

A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在

【答案】C

【分析】根据三角形面积公式，得到的关系，赋值得到的值，再根据余弦定理判断三角形的形状.

【详解】设的内角的对边分别是，且边上的高分别为，则，令，则，所以，所以为钝角，又，所以该三角形是钝角三角形.

故选：C

9．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和的正负，从而求出实数的取值范围

【详解】当时，，其值域为，

当时，的值域应包含，所以为减函数，

所以，且，解得.

故选：A

10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的解析式可以表示为.若甲、乙两地相距千米，当从甲地到乙地耗油最少时，汽车匀速行驶的速度是（    ）

A．70千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时

【答案】C

【分析】写出耗油量与行驶速度的函数解析式，利用导数求解函数单调性，从而可得函数的最小值.

【详解】当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地需行驶小时，

设耗油量为升，依题意得

，

则.

令，得，

当时，，是减函数，

当时，，是增函数.

所以当时，函数取最小值，

即汽车匀速行驶的速度是90千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少.

故选：C

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．

11．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的解析式，作出函数、的图象，设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，求出、，分析可知，可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】由题意可得，

作出函数、的图象如下图所示：

设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，

由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以，

由，

整理得，所以，

则，所以，，

则，所以，

要使为锐角三角形，，所以，，

，解得.

故选：D.

12．若，其中，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将原等式转化为，利用导数证明可得，

构造函数，再次利用导数研究的单调性，进而解对数不等式即可.

【详解】由，得，

，（）

令，则，

令，则函数在上是递增的，

所以，由于，则，

由（）式可得，

从而．

设函数，．

令，得函数在上是递增的，

又，则，

由，可得，则，所以．

故选：D.

二、填空题

13．集合且的所有非空真子集的个数为___________.

【答案】6

【分析】首先求集合的元素个数，再根据公式求解.

【详解】因为且，所以该集合的所有非空真子集的个数为.

故答案为：6

14．已知，则是的_____条件．（在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）

【答案】充分不必要

【分析】根据存在量词命题的否定求出命题p的否定，解之可得，结合充分不必要条件的定义即可得出结果.

【详解】由题意知，

：，，

即且，解得，

所以，即q是的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要.

15．在平面直角坐标系中，将向量绕原点按顺时针方向旋转后得到向量，则_____．

【答案】

【分析】根据三角函数的定义求出，进而求出m、n即可.

【详解】设以x轴正半轴为始边，OA为终边，对应的角为，

根据题意，得，，

又在第四象限，则，

所以，，

从而．

故答案为：.

16．当时，函数和有意义，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】函数有意义，则有，分离参数得，分别讨论不含参数部分最值，即可确定的取值范围

【详解】由题意知，当时，不等式组成立.

对于，整理得，令，则，

当时，单调递增;时，单调递减，所以，则，解得；

对于，整理得，由于在上的最小值为2，所以，解得.

综上可得.

故答案为：.

三、解答题

17．已知集合为全体实数集，或，.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用补集和交集的定义可求得结果；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】(1)解：当时，，且，

因此，.

(2)解：因为，所以.

当时，即时，，此时满足，合乎题意；

当时，即时，，

则有或，即或，此时.

所以实数的取值范围为.

18．的内角的对边分别是，且.

(1)求的值；

(2)当时，求的长.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据二倍角公式计算可得.

（2）根据正弦定理得，所以.由二倍角公式得，分两种情况根据余弦定理得解.

【详解】(1)因为，所以，

因为，所以.

(2)因为，所以，

又，所以.

由及，得.

当时，由，得，化简得，解得.

当时，由，化简得，解得.

所以或

19．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中为常数.已知当销售价格为5元/套时，每日可售出53千套.

(1)求的值；

(2)假设该网校的员工工资､办公损耗等所有开销折合为每套题3元（只考虑售出的套数），试确定销售价格，使得该网校每日销售套题所获得的利润最大.

【答案】(1)

(2)当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大

【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可；

（2）根据题意得到每日获得的利润，再利用导数求解最大值即可.

【详解】(1)因为当时，，

所以，解得.

(2)由（1）可知套题每日的销售量，

所以每日获得的利润，

从而.

令，得.

在区间上，单调递增；

在区间上，单调递减.

当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大.

20．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；

(3)关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m的值，进而求出函数的解析式即可；

(2)利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可；

(3)令，将原方程转化为直线与函数的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.

【详解】(1)依题意得，解得，

经检验，符合题意.

当时，，则，

因为是定义在R上的奇函数，所以，

即当时，；

(2)当时，恒成立，即恒成立．

设，易知在上是减函数，，

所以，即实数a的取值范围为；

(3)方程在上有两个不相等的实根，

即函数在上有两个零点，

令，

则关于t的方程在上有两个不相等的实根，

由于，

则直线与的图象有两个交点．如图，

因为在上单调递减，在上单调递增，

且，，，所以，

解得，即实数n的取值范围为．

21．函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式，并求出图象的对称轴方程.

(2)是否存在实数，使得函数在上恰有2023个零点？若存在，求出和对应的的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，

(2)存在，当或时，；当时，

【分析】（1）由图可得，由周期公式可得由图可得，的图象过点可得，求出的解析式可得对称轴方程；

（2）由（1）可得的图象与直线在上恰有2023个交点，分或、或、或、讨论可得答案.

【详解】(1)由图可得，所以，

因为的图象过点，所以，

又，所以，则，

所求对称轴方程为，即；

(2)由（1）可得的图象与直线在上恰有2023个交点，且函数的周期是，当时，.

①当或时，的图象与直线在上无交点.

②当或时，的图象与直线在上仅有一个交点，且在区间内部，根据周期性，在区间上各有一个交点.

此时的图象与直线在上恰有2023个交点，则.

③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，且在区间内部，根据周期性，在区间上各有2个交点.故的图象与直线在上有偶数个交点，不可能有2023个交点.

④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，

且三个交点的横坐标为，根据周期性，在区间上各有2个交点.

由，解得，要使的图象与直线在上有2023个交点，此时.

综上，当或时，；当时，.

22．已知函数．

(1)求的图象在点处的切线方程；

(2)对任意的，，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求出曲线的切线方程；

(2)将原不等式转化为()，利用二次求导研究函数的单调性，求出即可.

【详解】(1)因为，所以切点坐标为，

因为，所以，

可得所求切线的方程为，即．

(2)由，得，所以，其中，

令，，得，

设，，

则，所以在上单调递增，

所以，所以，所以在上单调递增，

，

所以，即a的取值范围为．