2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第二次阶段考试数学（理）试题含答案

2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第二次阶段考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则下列选项中符合题意的x为（    ）

A．5 B．8 C．20 D．25

【答案】B

【分析】根据，可得的个位数为3或8，从而代入选项判断即可.

【详解】因为，故的个位数为3或8，排除ACD.当时，，解得满足条件.

故选：B

2．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.

【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以解得：.

故选：A.

3．已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意当时恒成立，整理得，当时，在图像的下方，结合图像分析处理．

【详解】根据题意得当时恒成立

则，即

∴当时，在图像的下方

，则，则

故选：B．

4．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值是（    ）

A．2 B． C．0 D．

【答案】A

【分析】先由可得的周期为6，再结合为奇函数，可得的对称轴，然后对化简计算即可.

【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以，

由得，，

所以

所以函数为周期函数，周期为6，

所以，，

由函数为奇函数，得，

得函数图象关于对称，即，

所以．

故选：A

5．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.

【详解】由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

6．已知命题：命题q：若正实数x，y满足，则，则下列命题中为真命题的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数研究的最值判断真假，由，利用基本不等式“1”的代换求的范围判断的真假，进而判断由它们所构成的复合命题的真假.

【详解】由且，故，

当时，递减；当时，递增，

所以，故为假命题；

由x，y为正实数且，即，故，

当且仅当时等号成立，故为真命题；

所以为真命题、为假命题，

综上，为假，为真，为假，为假.

故选：B

7．已知，且恒成立，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】将恒成立不等式化为，利用导数可求得单调性，可知，由此可得；由知：，求导后，根据的范围讨论单调性，进而得到；由可求得结果.

【详解】由，得：；

令，，

令，则，

在上单调递减，，则，

在上单调递减，，；

令，则，

，；

当时，，在上单调递增，，不合题意；

当时，，在上单调递减，，满足题意；

当时，，使得，又在上单调递减，

当时，，

在上单调递增，则，不合题意；

综上所述：；

.

故选：D.

8．在△中，“”是“△为钝角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由同角三角函数基本关系与三角函数性质判断

【详解】由，若，则为钝角；

若，则，此时，故充分性成立.

△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；

∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.

故选：.

9．已知函数，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案.

【详解】函数的定义域为，

，故为偶函数，

当时，，令 ，则，

即单调递增，故，

所以，则在时单调递增，

由于

因为，

而，，

即 ，则，

故选：B

10．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断为上的增函数且，利用这两个性质可得关于不等式，利用判别式可求参数的取值范围，注意分类讨论.

【详解】的定义域为，

，故，

，

因为（当且仅当等号成立），

（当且仅当等号成立），

故，所以为上的增函数，

故可转化为：，

即转化为：，

所以对任意的恒成立，

故对任意的恒成立，

当时，恒成立，故符号，

当时，，故，

当时，的图象为开口向上的抛物线，

故对任意不恒成立，舍，

故，

故选：C.

11．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可

【详解】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，

∴，故，所以，∴，∵，故，

设，则，

∴在上递增，在上递减，∴，

∴实数a的最大值为e

故选：B.

12．定义在R上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有5个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性和对称性可知是周期为的函数，结合奇偶性和函数解析式可得当的解析式，转化在上有5个零点，转化为函数与在上有5个交点，结合图象，求解即可.

【详解】由题，令替换，则，

又是偶函数，所以，则，所以是周期函数，，

因为当时，，则当，即时，，

因为在上有5个零点，

所以与在上有5个交点，

如图所示，

又，，

所以当时，在上有两个零点，

此时需要，即，所以，

所以；

当时，在上有一个零点，

此时需要，即，所以；

所以，

故选：C

【点睛】方法点睛：将零点个数问题转化为函数图象交点问题，数形结合，即可求解。注意，可以结合选项检验区间内是否存在特殊值不满足题意.

二、填空题

13．设函数f（x），a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝__．

【答案】1

【分析】令g（x）＝f（x），易判断g（x）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，即可求出M+m的值.

【详解】解：f（x），

令g（x）＝f（x），

则g（﹣x）g（x），所以g（x）为奇函数，

所以g（x）的最大最小值分别为M，m，

由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，

所以M+m＝1．

故答案为：1．

14．设表示p，q，r三者中最小的一个.若函数，则当时，的值域是___________.

【答案】

【分析】通过题意得到为一个分段函数，并画出该分段函数的图像，结合图像得到的值域

【详解】时，﹒

画出函数的大致图象如图所示，结合图象可得，

所以当时，最低点为A点，最高点为C点，

且，

所以的值域是.

故答案为：

15．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意可得：由两个函数（且）与图像的交点转化为方程的解，再由方程转化为两函数与图像的交点，再利用导数求出函数的单调性及最大值，从而可得到的取值范围即可求出实数的取值范围.

【详解】由题意可得：

指数函数（且）与三次函数的图象

恰好有两个不同的交点，

等价于方程有两个不同的解，

对方程两边同时取对数得：，

即，

，

，

从而可转化为：与在图像上有两个不同的交点，

当时，，

当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在处取到极大值，也是最大值，最大值为，

又因为当时，，

当时，，

所以，

解得

故答案为：

【点睛】本题考查了函数与方程以及利用导数求函数的最大值，考查了学生的计算能力，属于一般题.

16．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.

【答案】36

【分析】将函数的零点转化为方程的根,令 ,转化为有两个根,通过根与系数的关系确定的值,讨论 的单调性,结合图象可知=,==代入原式可求解.

【详解】因为

所以

因为，所以

有三个不同的零点，

令，则，

所以当时，当时，

即在上单调递增，在上单调递减，

所以,当时，

令，则

必有两个根，不妨令，

且,

即必有一解，-有两解，

且，

故

.

故答案为：36.

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，求的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）消去参数即可得到曲线的直角坐标方程，再由，代入即可得到直线的直角坐标方程；

（2）在极坐标系内，可设，，则，再根据三角函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）由曲线的参数方程（为参数）得：

∴曲线的直角坐标方程为.

又由，

将，代入上式，

得直线的直角坐标方程为.

（2）在极坐标系内，可设，，

则，

（当时取等号，符合题意）

∴的最大值为

18．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，.

(1)求角B；

(2)若，求的面积，求的周长l的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据内角和定理可知，结合条件，利用正弦定理可得，再根据余弦定理即可求解；

（2）根据，结合三角形面积公式可得，根据余弦定理可得，将代入，则，即，可得到的范围，即可求解.

【详解】(1)由内角和定理得：，

∴，

由正弦定理边角互化得：，即，

∴，

∵，∴

(2)由（1），，

则由题意，，故，即，

由余弦定理可得，，则，故，

所以，故，

即的周长l的取值范围为

19．已知，命题：函数仅有一个极值点；命题：函数在上单调递减.

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数，由二次函数可知其极值点，分类讨论即可求解；

（2）由复合函数的单调性求出为真命题时的取值范围，再根据复合命题的真假判断出为假命题，即可得出的取值范围.

【详解】，

易知函数和分别在和处取得极小值.

当时，仅有一个极小值点，

此时为真；

当时，有两个极小值点和

一个极大值点

此时为假；

当时，仅有一个极小值点

此时为真.

的取值范围是.

若命题为真命题，

函数在上单调递减，

函数在上单调递减，且恒大于，

为真命题，

为假命题，

又为假命题，

为假命题.

由为假命题可得或

的取值范围是.

20．已知为偶函数，为奇函数，且满足.

(1)若方程有解，求实数m的取值范围；

(2)若，且方程有三个解，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合函数奇偶性将代入条件中可得，即可求得，的解析式，代入方程中，可得，设，换元可得，分别讨论和，结合二次函数性质即可求解；

（2）由（1），将，的解析式代入，作出的图象，整理方程为，结合图象有两个不等的实根，则需满足有且只有一个根，根据图象即可求解.

【详解】(1)因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，即，所以，，解得，

由可得，

令，当且仅当时，等号成立，则，故有，其中，

令，其中，则函数在上有零点，

①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；

②当时，即当时，则有，解得，此时函数在上有零点.

综上所述，实数m的取值范围是；

(2)，作出函数的图象如图所示：

由可得，

由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.

因此，实数k的取值范围是.

21．已知函数.

(1)若函数的图像与直线相切，求实数a的值；

(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)（0，）

【分析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a的方程组，解之即可；

(2)由二次函数和指数函数的性质知当时不符合题意，故，利用分离参数法可得

，根据导数研究函数的单调性，结合图形即可得出结果.

【详解】(1)，设切点为，

则∴

时，显然不成立，∴

消去a得

∴；

(2)令，即有且只有一个解，

当时，显然不成立，

∴，令，

∴与有且只有一个交点，

∵，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又当时，→0，当

当时，，当时，

如图所示，

综上，a的取值范围是.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．已知函数

(1)求函数的最小值；

(2)设函数,若不等式对任意的恒成立，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，从而求得最值；

（2）由（1）将不等式对任意的恒成立，转化，对任意的恒成立，继而只需满足即可.求的导数，结合分类讨论，确定其最小值，即可求得答案.

【详解】(1)的定义域为，

对函数求导得，

令，则，于是函数在上,,单调递减，

在上,单调递增，

所以函数的最小值为;

(2)由条件知，

令，由（1）可知，

于是函数可转化为函数，

不等式对任意的恒成立，可转化为，

对任意的恒成立，即只需满足即可.

对函数求导得，

当时，，所以函数在上单调递减，

又，不符合题意，故舍去；

当时，令，解得：，

①当时，，则，

所以函数在上单调递增，但，不符合题意，故舍去；

②当时，由（1）知，单调递增，

故时，，当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数，所以只需满足即可.

即，

构造函数且，求导得：，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，于是，

即，

于是，则，符合条件，

综上：．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题以及解决不等式恒成立问题时求参数范问题，综合性强，计算量大，解答时要能灵活应用导数的相关知识判断函数单调性以及求最值，解答的关键是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，其中要能根据题意构造函数，进而解决问题。