2023届豫北名校普通高中联考高三测评（一）数学（理）试题含答案

2023届豫北名校普通高中联考高三测评（一）数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，然后利用交集运算即可得到答案

【详解】解：因为，，

所以

故选：D

2．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算性质分析判断.

【详解】由，得，

所以，

当，且时，不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

3．若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系可得，化弦为切结合已知即可得解.

【详解】解：

.

故选：D.

4．命题：“”，命题“”，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断命题的真假，再利用复合命题额真值表求解即可

【详解】因为对于，都有，

故命题为假命题；

令，在区间恒成立，

所以在区间上单调递增，又，所以，

所以是真命题；

所以是真命题，，，都是假命题；

故选：A

5．在中，已知，，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角形内角和为可求得，由此可得，代入三角形面积公式即可求得结果.

【详解】，，，

.

故选：B.

6．函数（其中为自然对数的底数）的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的定义域、函数值的符号变化以及函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的，，故函数的定义域为，排除C选项；

当时，；当时，，排除A选项；

因为，当时，且不恒为零，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，排除D选项.

故选：B.

7．定义在上的奇函数满足，若当时，，则（    ）

A． B．6 C． D．8

【答案】C

【分析】由奇函数满足，可推出是周期为4的函数，求解即可得出答案．

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以，

所以是周期为4的函数，

因此．

故选：C．

8．设，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数运算可将化为和，由、可比较出大小关系.

【详解】，，；

，，；

.

故选：C.

9．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．15

【答案】B

【分析】根据图象变换规律得到，再由是函数图象的一条对称轴，得出，即可得出答案．

【详解】由题知，

因为是函数图象的一条对称轴，

则，

所以，

又，所以的最小值为6．

故选：B．

10．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，，则c＝（    ）

A．2 B．4 C． D．8

【答案】A

【分析】由正弦定理，结合条件，得，进一步求出，利用余弦定理求出.

【详解】由正弦定理，及，

得，又，

所以，

整理得，所以，

又，所以．

由余弦定理，得，则．

故选：A．

11．若定义在区间D上的函数，对区间D内的任意，，都有成立，则称为区间D上的平增函数．已知是定义域为的平增函数，且满足：①，；②，．则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】由条件①，可以得到函数的图象在上关于对称，；由条件②，结合“平增函数”这个信息，可以推出时，，时，也有，从而得出答案．

【详解】因为，

所以函数的图象在上关于对称，令可得．

又因为，所以，

因为是定义域为的平增函数，，

所以当时，．

因为函数的图象关于对称，

所以当时，也有，

所以，

故选：C．

12．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，

，

设，则，

令，令，

所以函数在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且，

所以，所以

函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，

则，

等价于函数与图象有两个不同的交点.

令，则，，

设，则，

令，令，

所以函数在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且，

所以，所以，解得.

故选：D

二、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】由题意，利用偶次根式、对数函数的性质，列出不等式组求解．

【详解】由题知，解得，即，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

14．若，则________.

【答案】

【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

15．在中，角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】利用余弦定理、三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】由余弦定理可知：，

而，

因为，所以，

因为，当时等号成立

设的面积为，

所以有，

故答案为：

16．三棱锥的三视图如图所示，且其外接球的半径为4，则三棱锥的体积的最大值为___________.

【答案】

【分析】先将三视图还原成直观图，利用图象的关系找到底面的外心位置和外接球的球心位置，然后根据长度关系可得到三棱锥的体积为，利用导数计算其最大值即可求得答案

【详解】解：将三视图还原成直观图，如图所示三棱锥

易得是等腰三角形，所以，

因为，所以，

由于是等腰三角形，所以的外心在的中垂线上，

所以，因为，所以是等边三角形，

所以，

设三棱锥的外接球的球心为，故平面，到的距离相等，

令则，所以外接球的半径为，即，

因为，所以，

所以三棱锥的体积

令，所以

令，解得，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，

所以当时，三棱锥的体积最大，为

故答案为：

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

三、解答题

17．已知幂函数是偶函数．

(1)求函数的解析式；

(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）根据幂函数的特征，得，解得或，检验是偶函数，得出答案；

（2）求出，利用的单调性，得，求解即可．

【详解】(1)由题知，即，解得或．

当时，，不是偶函数，舍去，

当时，，是偶函数，满足题意，

所以．

(2)由（1）知，且图象的对称轴为，

所以在上是增函数，

则，

解得或，

又，所以．

18．已知函数的最大值为.

(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间；

(2)求使成立的的取值集合.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用两角和得正弦公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的最值结合已知求出，再根据正弦函数的周期性及单调性即可得解；

（2）由（1）得，则，再根据正弦函数的单调性即可得解.

【详解】(1)解：

，

当时，函数取得最大值，

则，

所以，

所以，

所以，

令，得，

所以函数的单调递增区间为；

(2)解：由，

得，

所以，则，

所以使成立的的取值集合为.

19．在中，内角的对边分别为，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．

(1)求角的大小；

(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得，进而得到；若选③：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由可求得，进而得到；

（2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】(1)若选条件①，由正弦定理得：，

，，，则，

又，.

若选条件②，由得：，

，则，又，.

若选条件③，由得：，

，即，

又，，.

(2)

，，

即，，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

20．在锐角中，内角所对的边分别为，且

(1)求；

(2)若的外接圆的半径为1，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换可得，求出的范围，进而可求的值．

（2）根据和为锐角三角形求出的范围，根据正弦定理表示出、，根据三角函数范围即可求的范围．

【详解】(1)解：因为，

所以，

可得，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，可得．

(2)解：设外接圆的半径为，依题意，由正弦定理，

所以，，

因为，所以，

因为是锐角三角形，

所以，，可得，

所以

，

因为，所以，所以，则，即.

21．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：.

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)见解析

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再导数的正负求出函数的单调区间即可；

（2）令，再用导数法说明即可求解

【详解】(1)函数的定义域为，

由，得，

由，解得，

由，解得

所以的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)令，

则，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

又，，

所以存在，使得，即，

所以时，单调递减，

时，单调递增，

，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以，

所以

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．已知函数存在两个极值点，其中为自然对数的底数.

(1)求实数的取值范围；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个零点，再利用一元二次方程有两个根的条件即可求解；

（2）根据已知条件构造新函数，利用导数研究函数的最值即可求解.

【详解】(1)由题意可知.

因为存在两个极值点等价于方程有两个不相等的实根，

又，只需，解得，

所以实数的取值范围为.

(2)由（1）知，不妨设，则，

可变形为，则且，

所以.

设函数，则，

设，则当时，，所以在上单调递增，

又，则当时，，即，

所以在上单调递增，又，则当时，，

所以当时，.

因此

.

又，

令，则，

所以在上单调递增，，从而.

综上可得，.

【点睛】解决此题的关键是第一问将问题转化为导函数有两个零点即可；第二问根据已知条件构造新函数，利用导数法求函数的最值即可.