湖南省长沙市明德中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

明德中学2022年下学期高一年级10月阶段性考试

数  学

2022年10月

时量：120分钟    总分：150分

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={0，1，2，3}，，则（       ）

A．{1，2，3}  B．

C．{0，1，2，3，4}  D．

【分析】利用并集的定义直接求出．

【解析】解：集合，1，2，，

∴．

故选：．

2．命题“存在，”的否定形式是（       ）

A．任意， B．任意，或

C．存在， D．存在，或

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在，”的否定形式是“任意，或”．

故选：．

3．已知，则（       ）

A．  B．

C．  D．

【分析】对于，结合不等式的性质，即可求解，对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合函数的单调性，即可求解，对于，结合作差法，即可求解．

【解析】解：对于，，

，，

，故错误，

对于，令，，，满足，但，故错误，

对于C，，

，

在上单调递增，

，故C正确．

对于D，，

，

，故D错误，

故选：C．

4．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（       ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【分析】直接利用同一函数的定义和函数的定义域的应用判断、、、的结论．

【解析】解：对于，，，故错误；

对于，，故正确；

对于，，故错误；

对于，，，，，，故错误．

故选：．

5．当时，函数的最小值为（       ）

A． B． C． D．4

【分析】由，利用基本不等式的性质求解即可；

【解析】解：∵，∴

∴

当且仅当时，即等号成立

∴函数的最小值为

故选：A．

6．命题“任意，”为真命题的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

【分析】命题“，”为真命题，可得，令，，，利用二次函数的单调性即可得出函数取得最小值，进而判断出结论．

【解析】解：命题“，，”为真命题，

∴

令，，，

则函数在，上单调递增，

∴时，函数取得最小值，．

∴．

因此命题“任意，”为真命题的一个必要不充分条件是．

故选：A．

7．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C．  D．

【分析】利用二次函数根的分布求解即可．

【解析】解：令，

则由已知可得函数与轴有两个不同的交点，

且都在2的右侧，

如图所示：

由图可得：，

解得：，

故的取值范围为：，

故选：．

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（       ）

A．1 B． C． D．

【分析】由题意可得或或或，画出可行域，计算出面积即可．

【解析】解：由题意可得或或或，

画出可行域，如图所示，

点集所表示的平面区域的面积是4，

故选：．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．已知，，且，，则a取值可能为（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【分析】由已知中 且，，代入可构造关于的不等式，解不等式结合，可得满足条件的值．

【解析】解： 且，，

即，

解得：，

又，

，或，或，

故满足条件的的取值集合为，1，，

故选：．

10．下列命题，其中正确的命题是（       ）

A．函数在（0，）上是增函数

B．函数在上是减函数

C．函数的单调递减区间是

D．已知在R上是增函数，若，则有

【分析】根据二次函数的性质、反比例函数的单调性、以及函数单调性的定义逐项判断即可．

【解析】解：对于的单调递增区间为，故在上是增函数，故正确；

对于：函数在，上单调递减，故正确；

对于：要求函数的单调减区间，只需，解得，故该函数的单调递减区间为，，故错误；

对于在上是增函数，若，所以，，所以（a），（b），两式相加得（a）（b），故正确．

故选：ABD．

11．对于数集M，若对于任意a，，有，，则称集合M为闭集合，则下列说法中错误的是（       ）

A．集合M={，0，1}为闭集合

B．集合为闭集合

C．正整数集是闭集合

D．若集合，为闭集合，则为闭集合

【分析】根据已知新定义对应各个选项逐个判断即可．

【解析】解：选项：因为，，所以集合不是闭集合；

选项：设，，，，则，，

所以集合为闭集合，故正确；

选项：设，为任意两个正整数，当时，不是正整数，

所以正整数不是闭集合，故错误；

选项：设，，，，

由可知集合，为闭集合，2，，而，

故不为闭集合，故错误．

故选：．

12．若x，，且满足，则下列结论正确的是（       ）

A．的最小值是3  B．的最小值为6

C．的最小值为2 D．的最大值为

【分析】根据基本不等式及函数的单调性逐项判断即可．

【解析】解：对于选项：由题干可得：，所以，，，当且仅当取得等号，所以选项错误．

对于选项：由题干可得：，所以

，，当且仅当取得等号，所以选项正确．

对于选项：由题干可得：，，，，

，当且仅当，取得等号，所以正确．

对于选项：由题干可得：，令，则有知．

原式在上单减，所以时即时有最大值，所以正确．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知集合，若函数，，则函数的值域是________．

【分析】先求解，然后根据函数的单调性进行求解即可．

【解析】解：，

当时，，

即的值域为，，

故答案为：，

14．若，，则的取值范围为________．

【分析】根据已知条件，结合不等式的基本性质，即可求解．

【解析】解：，

，

，

，

，

故的取值范围为．

故答案为：

15．已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是________．

【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围

【解析】解；由可得

①若，则，则其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去

②若，则，不符合题意

③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，

∴

故答案为：

16．函数的定义域为D，若对于任意，，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：              ①；              ②；              ③；

则________；等于________．

【分析】由新定义可知（1），，，当，时，，从而求得．

【解析】解：，，

（1），，

（1），，

当，时，，

故，

故，

故，

故答案为：1；

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

 已知全集U={2，4，6，8，10}，．

（1）若中有3个元素，求实数t的取值范围；

（2）若中有四个元素，求实数t的值．

【分析】

（1）若中有3个元素，则集合A中有2个元素，根据一元二次方程根的关系即可求t的值；

（2）若中有4个元素，则等价为为单元素集合，然后进行求解即可．

【解析】

解：（1）全集U={2，4，6，8，10}，

由中有3个元素，则集合A中有2个元素，即方程有两个不相等的实数解，

∴，

∴或，

（2）中有四个元素，为单元素集合，由，

解得，

当时，方程化为，解得，所以，满足条件；

当时，方程化为，解得，所以，不满足条件；

综上知，．

18．（本题满分12分）

 已知集合，．

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【分析】

（1）先求出集合，，若，则有，解不等式组即可；

（2）根据条件便知，所以便有，或，所以解不等式即可得到的取值范围．

【解析】

解：（1）；

∴

若，则：；

解得；

的取值范围为；

（2）是的必要不充分条件；

能得到，而得不到；

；

∴或；

∴或；

∴实数的取值范围为R．

19．（本题满分12分）

 如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．

（1）求出y关于x的函数的解析式；

（2）若周长y大于9，求上底CD长的取值范围．

【分析】

（1）作，分别垂直，交于，，连结，求出，又在直角中，进一步求出，从而求出梯形的周长与间的函数解析式，根据，，可求出定义域；

（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．

【解析】

解：（1）作，分别垂直，交于，，

连结．由圆的性质，是中点，设，

．

又在直角中，，

，其定义域是；

（2）令，则，且，

，

∵周长y大于9

∴，解得：

∴，

∴，

∴，

∴上底CD长的取值范围

20．（本题满分12分）

（1）若的解集为，求实数a，b的值；

（2）当时，求关于x的不等式的解集．

【分析】

（1）题意转化为1，是方程的解，从而列方程解得；

（2）根据不等式，再分类讨论求不等式的解集．

【解析】

解：（1）的解集为，

，是方程的解，

故，

解得，；

（2）∵，

①当时，

不等式的解集为或，

②当时，

不等式的解集为，

③当时，

不等式的解集为或，

④当时，不等式的解集为．

21．（本题满分12分）

 已知，．

（1）①求的值；

 ②当时，求；

（2）当时，求的解析式；

（3）求方程的解．

【分析】

（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解；

（2）代范围求出解析式；

（3）先将方程化简一下，再求解．

【解析】

解：（1）①

②当时，，，

故．

（2）由（1）知，当时，．

当时，，，故．

当时，，，故．

所以当时，的解析式为．

（3），，

所以方程为

解得或．

22．（本题满分12分）

 已知函数，a为实数．

（1）当时，判断并用定义证明函数在区间（0，1]上的单调性；

（2）是否存在实数a（），使得在闭区间上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出．

（2）化简函数为分段函数，通过讨论的范围，列出关系式求解即可．

【解析】

解：（1）当时，，

当，时，，

，

在，上恒成立，

在，上单调递减；

（2），，

，（先用特殊值约束范围），

，在上递增，

必在区间，上取最大值2．

当，即时，则，，成立，

当，即时，，则（舍，

综上，．