山东省聊城市2022届高三数学5月三模试卷及答案

 高三数学5月三模试卷

一、单选题

1．若复数z满足，则复数的虚部为（　　）

A． B． C． D．

2．设集合，，则（　　）

A．⫋ B．⫋

C． D．

3．抛物线的准线方程是（　　）

A． B． C． D．

4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（　　）

A． B． C．16π D．32π

5．的展开式中项的系数为（　　）

A．-120 B．-40 C．80 D．200

6．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

7．已知函数的导函数为.若，且，则（　　）

A． B．

C． D．

8．2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

二、多选题

9．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．甲同学的体温的极差为0.5℃

B．甲同学的体温的众数为36.3℃

C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等

D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

10．已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

11．在平面四边形中，，，则（　　）

A． B．

C． D．

12．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（　　）

A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值

B．若平面，则AQ的最小值为

C．若的外心为M，则为定值2

D．若，则点Q的轨迹长度为

三、填空题

13．已知随机变量，，，　     　.

14．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为　             　.

15．某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计　     　年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）

16．已知函数（且），若对任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为　          　.

四、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B；

（2）若b=4，求周长的最大值.

18．设数列的前n项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前15项的和.

19．为迎接2022年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.

附：经验回归方程：中，，；

参考数据：，，，.

（1）为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的经验回归方程（系数和的最终结果精确到0.01），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下？

（2）在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、、三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：

若传球3次，记队员控球次数为，求的分布列及均值.

20．已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.

（1）求证：；

（2）试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

21．已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.

22．已知函数，.

（1）当b=1时，讨论函数的单调性；

（2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】D

9．【答案】A,B,D

10．【答案】A,C

11．【答案】A,B,D

12．【答案】A,B,D

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】2036

16．【答案】

17．【答案】（1）解：因为，则，

在中，由正弦定理得，，而，即，

整理得，即，又，解得，

所以.

（2）解：在中，由余弦定理得：，即，

而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，

因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，

所以周长的最大值为12.

18．【答案】（1）解：由得，

当n=1时，，解得.

当n≥2时，，从而，即，

因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.

（2）解：当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

所以数列的前15项和为

.

19．【答案】（1）解：由得.

由题意得，，

所以，

.

所以，即关于的经验回归方程为.

令，所以，解得.

由于，所以，

所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.

（2）解：由题意得的可能取值为、、，

，，

，

所以的分布列为

所以，.

20．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边行，且为等边三角形，

所以∠BCE=120º.

又E为CD的中点，所以CE=ED=DA=CB，即为等腰三角形，

所以∠CEB=30º.

所以∠AEB=180º－∠AED－∠BEC=90º，

即BE⊥AE.

又因为平面AEP⊥平面ABCE，

平面平面ABCE=AE，平面ABCE，

所以BE⊥平面APE，

又平面APE，所以BE⊥AP.

（2）解：取AE的中点O，连接PO，由于为正三角形，则PO⊥AE，

又平面APE⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面EAP，

所以PO⊥平面ABCE，，，

取AB的中点G，则，

由（1）得BE⊥AE，所以OG⊥AE，

以点O为原点，分别以OA，OG，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，

则0（0，0，0），A（1，0，0），，，E（－1，0，0），

则，，，，

假设存在点F，使平面AEF与平面AEP的夹角为45°，

设，

则，

设平面AEF的法向量为，

由得，取z=2λ，

得；

由（1）知为平面AEP的一个法向量，

于是，，

解得或λ=－1（舍去），

所以存在点F，且当点F为线段PB的靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面AEP的夹角为45°.

21．【答案】（1）解：由椭圆C的离心率为得①，

由椭圆的几何性质知，当M为椭圆上（或下）顶点时，的面积最大，

②，

又，结合①②可解得，，

所以椭圆C的方程为.

（2）证明：由过的直线l不过，，可设其直线方程为，把代入，得，，即，

设，，则，，

直线的方程为，

直线的方程为，

设直线和的交点为，则

，

把及代入上式，得

，整理得，

故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证.

22．【答案】（1）解：当b=1时，，定义域为（0，+∞），.

当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.

当时，，

令，得；令，得，

所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递增，

当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

（2）解：因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，

所以，且，由于，

所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，

所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.

令，所以，

.令，，

则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.

由于G(1)=e>0，，所以使得，

即，（※）

所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，

即F(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以，

由（※）式可知，，，

令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，

所以

所以，实数m的取值范围为（－∞，1].