2021学年5.2 导数的运算课后作业题

专题5.2  导数的运算

知识储备

1．基本初等函数的导数公式

2.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3) (g(x)≠0)．

3.复合函数导数的运算法则

概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝．

求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ .即y对x的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

4.常用结论

1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.

2.′＝－.

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·全国高二课时练习）对于函数，若，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，

所以，解得，故选：A．

2．（2020·全国高二课时练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，得，则，故选：D．

3．（2020·全国高二课时练习）下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，故A不正确；

，故B不正确；

，故C正确；

，故D不正确．故选：C．

4．（2020·山西高三期中（文））已知函数，其中为函数的导数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

所以，，

，函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，

因此，.故选：B.

5．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，

∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A

6．（2020·湖南长沙市·长郡中学高二期中）若函数，满足，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】因为函数，满足，且，

所以，则，

对两边求导，

可得，

所以，因此.故选：C.

7．（2020·安徽淮北市·淮北一中高二期中）等比数列中，，，函数，则（    ）

A．26 B．29 C．212 D．215

【答案】C

【解析】等比数列中，，，

所以，

因为函数，

，

则．故选：C．

8．（2020·江西抚州市·临川一中高二期中（文））设函数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，

当时，，，满足充分性.

当，即，解得或，不满足必要性.

所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A

二、多选题

9．（2020·江苏南通市·高三期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为 

B．函数的图象关于点对称

C．对任意，都有 

D．函数的最小值为-3

【答案】BCD

【解析】A.因为的周期分别是，其最小公倍数为，所以函数函数的最小正周期为，故错误；

B.因为 ，故正确；

C. ，故正确；

D. ,故正确；故选：BCD

10．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】在A中，若，则，则，这个方程显然有解，故A符合要求；

在B中，若，则，即，此方程无解，故B不符合要求；

在C中，若，则，由，令，（），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；

在D中，若，则，由，可得，故D符合要求．故选：ACD．

11．（2020·湖北高三月考）已知函数，其导函数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】因为，所以．

因为，所以．

故．故选：BC

12．（2020·山东高三专题练习）以下函数求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【解析】对A，，故A正确

对B，，故B错

对C，

所以C正确

对D，，故D错.故选：AC

三、填空题

13．（2020·广东中山市·高二期末）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：

，，所以，

，由上述过程，二元函数，则______.

【答案】

【解析】根据题意，得到，，

则，，

因此.故答案为：.

14．（2020·全国高三其他模拟（理））给出下列四个命题：

①命题“，”的否定是“，”；

②函数只有两个零点，分别是一个正数和一个负数；

③对于任意实数，有，且当时，，则当时，．

其中正确命题的序号是______．（填所有正确命题的序号）

【答案】①③

【解析】①全称命题的否定是特称命题，所以①正确．

②根据，的图象，知有三个零点，

故②错误；

③两边对求导数，得，

所以是奇函数，当时，，

当时，．所以③正确．故答案为：①③

15．（2020·全国高二课时练习）已知函数、满足，，，，若，则_________．

【答案】

【解析】，，

由，，，，

得．故答案为：.

四、双空题

16．（2020·浙江宁波市·高二期末）已知函数和点，则导数______；的图像在点处的切线的方程是______.

【答案】       

【解析】因为，

所以，

因为，，

所以的图像在点处的切线的方程是，即，

故答案为：；.