人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

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5.3.1  函数的单调性与导数

一、单选题

1．下列函数在区间上是增函数的是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【解析】根据题意，依次分析选项，

对于A，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；

对于B，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；

对于C，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；

对于D，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；

故选A．

2．函数的单调递减区间是（    ）

A．  B．  C．   D．

【答案】C

【解析】由题意，可得，

令，即，解得，即函数的递减区间为.

故选C

3．已知函数，则（    ）

A．在上递增      B．在上递增

C．在上递减      D．在上递减

【答案】A

【解析】依题意，

当 时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

对照选项可知：函数在上递增.

故选A.

4．函数的单调减区间是（    ）

A．     B．      C．      D．

【答案】D

【解析】由题,对函数定义域,

求导可得,

令,可得.

故选D.

5．函数的单调递增区间（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】由题得，

解不等式，

所以.

所以函数的单调增区间为.

故选C

6．函数 的单调递增区间是（    ）

A．  B．   C．(1,4)    D．(0,3)

【答案】B

【解析】，，解不等式，解得，

因此，函数的单调递增区间是，

故选B.

7．若函数，则函数的单调递减区间为（    ）

A．     B． 

C．(0，3)        D．

【答案】C

【解析】函数的定义域为：，

因为，

令并且，得：，

所以函数的单调递减区间为(0，3).

故选C.

8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】函数在区间单调递增，

在区间上恒成立，则，而在区间上单调递减，

，的取值范围是

故选D．

9．已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】.因为在上不单调.

所以在上有解，

又在上单调递减，

所以，，

故.

故选C

10．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增区间”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增区间”，则“缓增区间”I为（    ）

A．[1，＋∞)   B．[0，]   C．[0，1]   D．[1，]

【答案】D

【解析】因为函数的对称轴为x＝1，

所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，

又当x≥1时，，

令(x≥1)，则，

由g′(x)≤0得，

即函数在区间上单调递减，

故“缓增区间”I为，

故选D.

11．已知函数对于任意的满足,其中是函数的导函数,则下列不等式成立的是（    ）

A．      B．

C．     D．

【答案】B

【解析】由题意构造函数,

则

.

对于任意的满足,

故,当时,,

当时, ,

因此在单调递减,在单调递增.

又因为,因此 ,

因此有 ,

化简得 .

故选B

12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．  D．

【答案】A

【解析】因为函数在区间上不是单调函数，

所以在区间上有解，且不是重解.

即可得，

令，，

则，

当时，，函数单调递增.

故的值域为.

故选A.

二、填空题

13．函数的递减区间为_______

【答案】，

【解析】函数的定义域为，，

故当时，，也即函数的递减区间为.

故填.

14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】由题意可知，即对恒成立，

所以，所以即.

故填.

15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】因为，所以，

函数在上单调递增，可知在上恒成立，

即，所以，即，则实数的取值范围是．

故填．

16．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．

【答案】.

【解析】令，因为，所以.

所以为单调增函数.因为，所以.

所以当时，，即，得，解集为

故填

17．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【解析】令 ，则为奇函数，且为增函数，所以

故填

18．已知函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围______．

【答案】

【解析】函数的定义域为，.

令，可得或；令，可得.

所以，函数的单调增区间为和，单调递减区间为.

由于函数在上单调，则为以上三个区间的子集.

①若，可得；

②若，可得，解得；

③若，则.

因此，实数的取值范围是.

故填.

三、解答题

19．已知函数.

（1）求在处的切线的方程；

（2）求函数的单调区间.

【解析】（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；

（2）令，得或，令，得，

故函数的单调增区间是，单调减区间是.

20．已知函数的导函数的一个零点为．

（1）求a的值；

（2）求函数的单调区间．

【解析】（1），

由，得．

（2）由（1）得，

则．

令，得或．

当时，；

当时，或．

因此的单调递增区间是，单调递减区间是．

21．已知函数，.

（1）若与在处相切，求的表达式；

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围.

【解析】（1），

，

又与在处相切，

，

解得：，

，

即，

解得：，

；

（2）在上是减函数，

即在上是减函数，

在上恒成立，

即在上恒成立，

则在上恒成立，

又在上单调递增，

，

，

解得：，

即实数的取值范围是.

22．已知函数.

（1）若函数在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；

（2）讨论函数的单调性.

【解析】（1）由题意得，.

①当时，，函数单调递减.

②当时，令，

∵函数在区间上是单调函数，

∴在区间上恒成立，

∴在区间上恒成立.

令，

∵，当且仅当时取等号，∴，

∴当时，函数单调递增，

∴实数a的取值范围是.

（2）由（1）可知，①当时，，函数在上单调递减，

②当时，函数在上单调递增，

③当时，由，

解得或，

∴函数在，上单调递增，

在上单调递减.