人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课后练习题
展开这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课后练习题,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
5.2.3简单复合函数的导数 -B提高练
一、选择题
1.(2021·广东揭阳市高二期末)函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】函数可以看作函数和的复合函数,根据复合函数的求导法则有.故选:B.
2.(2020·四川省眉山车城中学高二期中)已知函数,则( )
A.1 B.-1 C.2 D.3
【答案】B
【详解】因为,所以,
令,可得,解得.故选:B.
3.(2021·江苏徐州市·高三期末)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量(单位:贝克)与时间(单位:天)满足函数关系,其中为时该放射性同位素的含量.已知时,该放射性同位素的瞬时变化率为,则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为( )
A.20天 B.30天 C.45天 D.60天
【答案】D
【详解】由得,因为时,该放射性同位素的瞬时变化率为,即,解得,
则,当该放射性同位素含量为贝克时,即,
所以,即,所以,解得.故选:D.
4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【答案】B
【详解】设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有
由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.
5.(多选题)(2021·江苏高二)以下函数求导正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【答案】AC
【详解】对A,,故A正确
对B,,故B错;对C,
所以C正确对D,,故D错;故选:AC
6.(多选题)(2021·全国高二课时练)已知函数及其导数,若存在,使得,则称是的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【详解】在A中,若,则,则,这个方程显然有解,故A符合要求;
在B中,若,则,即,此方程无解,故B不符合要求;在C中,若,则,由,令,(),作出两函数的图像如图所示,由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解,故C符合要求;
在D中,若,则,由,可得,故D符合要求.故选:ACD.
二、填空题
7.(2020·陕西彬州市高二月考)已知y=,则y′=________.
【答案】
【详解】y===-ln(1+x2),所以y′=-·(2x)=.
8.(2020·洛阳市第一高级中学高二月考)函数的图像在点处的切线的斜率为_________.
【答案】
【详解】因为函数,所以,则在点处的切线的斜率.
9.(2020·广东湛江市·湛江二十一中高二开学考试)若函数,,则__________.
【答案】3
【详解】由,得,
,,。
10.(2020·广东中山市)在许多实际问题中,一个因变量往往与几个自变量有关,即因变量的值依赖于几个自变量,这样的函数称为多元函数.例如,某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程:
,,所以,
,由上述过程,二元函数,则______.
【答案】
【详解】根据题意,得到,,
则,,因此.
三、解答题
11.设函数f (x)=aexln x+.
(1)求导函数f ′(x);
(2)若曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
【详解】(1)由f (x)=aexln x+,
得f ′(x)=(aexln x)′+=aexln x++.
(2)由于切点既在曲线y=f (x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,
将x=1代入切线方程得y=2,将x=1代入函数f (x)得f (1)=b,
∴b=2.将x=1代入导函数f ′(x)中,
得f ′(1)=ae=e,∴a=1.
12.(2020·江苏高二专题练习)已知函数,记为的导数,.
(1)求;
(2)猜想的表达式,并证明你的猜想.
【详解】解:(1)因为,则,,
(2)猜想:.
下面用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立;
②假设(且)时,结论成立,即.
当时,
.
所以当时,结论成立.
所以由①②可知对任意的结论成立.
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