南充高中高2023届高三第二次模拟考试理科数学试卷及参考答案

南充高中高2023届第二次模拟考试数学 理科

满分: 150分 年级: 高三

一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）

1.设集合 ，则集合 和集合 的关系是（  ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知 , 则 “ ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的（   )

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 若 展开式的二项式系数之和为 64 , 则展开式的常数项为 (    )

A.10 B.20 C.30 D.120

4. 若 , 则 =(   ）

A.  B.  C.7 D.

5.基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: 描述累计感染病例数 随时间 (单位: 天)的变化规律, 指数增长率 与 近似满足 . 有学者基于已有数据估计出 . 据此,在新冠肺 炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据: （  ）

A.1.5 天 B.2 天 C.2.5 天 D.3.5 天

6. 函数 在区间 上的图象为 (   )

A. B.

C. D.

7. 已知函数 是 上的偶函数, 且 的图象关于点 对称, 当 时, , 则 的值为 (   )

A.  B.1 C.  D.2

8. 要得到函数 的图象, 只需将函数 的图象 (    )

A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度

9. 如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）

A.  B.

C.  D.

10. 在 中, , 若不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 (    )

A.  B.

C.  D.

11. 已知函数 , 方程 恰有两个不同的实数根 , 则 的最小值与最大值的和 (   )

A.  B.2 C.  D.

12. 设 , 则 的大小关系正确的是 (     )

A.  B.

C.  D.

二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）

13.记 为正项等比数列 的前 项和, 若 , 则 的值为___.

14 已知向量 与 的夹角是 , 则向量 与 的夹角为________.

15棱长为 6 的正方体内有一个棱长为 的正四面体, 且该四面体可以在正方体内任意转动, 则 的最大值为______________.

16已知抛物线 的焦点为 , 过点 作倾斜角为 的直线 交 于 两点, 过 分别作 的切线 与 交于点 与 轴的交点分别为 , 则四边形 的面积为______________.

三解答题（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）

17.（本题满分12分）手机厂商推出一款 6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性，300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：

（本题满分1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；

（2）把评分不低于 70 分的用户称为“评分良好用户”，能否有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？

参考公式: , 其中

18.（本题满分12分）已知函数 只能同时满足以下三个条件中的两个.

①函数 的最大值是 2 ;

② 函数 的图象可由函数 左右平移得到;

③函数 的对称中心与 的对称轴之间的最短距离是 .

(1) 写出这两个条件的序号 (不必说明理由) 并求出函数 的单调递增区间;

(2) 已知 的内角 所对的边分别为 , 满足 , 点 为 的中点, 且 , 求 的值.

19（本题满分12分）如图, 在四棱锥 中, 面 , 是 的中点.

(I) 求证: ;(II) 若二面角 的余弦值为 , 求线段 长.

20.（本题满分12分）在平面直角坐标系 中, 椭圆 的左, 右顶点分别为 , 点 是椭圆的右焦点, .

(I) 求椭圆 的方程;

(II) 不过点 的直线 交椭圆 于 两点, 记直线 的斜率分别为 . 若 , 证明直线 过定点, 并求出定点的坐标.

21.（本题满分12分）

已知函数 . (其中 为参数) 在点 处的切线方程为 .

(1) 求实数 的值;

(2) 求函数 的最小值;

(3) 若对任意的 , 不等式 恒成立, 求实数 的取值范围.

选做题（本题满分10分）

22. [选修 4-4: 坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系 中, 设曲线 的参数方程为 ( 为参数), 以坐标原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线 的极坐标方程为 .

(1) 求曲线 的普通方程;

(2) 若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 , 求实数 的值.

23 [选修 4-5: 不等式选讲]

已知函数 , 且 的解集为 .

(1) 求 的值;

(2) 若正实数 满足 , 求证: .

南充高中高2023届第二次模拟考试数学 理科

参考答案及解析

一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）

1.  【答案】C

 【解析】略

2.  【答案】C

 【解析】 与 的夹角为钝角，则要满足 ，即 ，解得: 且 因为 是 的真子集 所以 是“ 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件

3.  【答案】B

 【解析】根据题意可得 ，解得 ，

则 展开式的通项为 ， 令 ，得 ，

所以常数项为: .

4.  【答案】B

 【解析】因为 ，所以 ,

所以 ，

故选: B

5.  【答案】B

 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天，

则 ，所以 ，所以 ，

所以 天.

故选: B.

6.  【答案】D

 【解析】

为奇函数，排除 ；

又 ，排除 ；

，即 ，排除 ，

故选: D

7.  【答案】C

 【解析】因为 是 上的偶函数，所以 ，

又 的图象关于点 对称，则 ，

所以 ，则 ，得 ，

即 ，所以 是周期函数，且周期 ，

由 时， ，则 ， 则 ，

则 .

8.  【答案】D

 【解析】把 化为 ，故把 的图象向左平移 个单位，即得函数 的图象.

详解: ,

故把 的图象向左平移 个单位 , 即得函数 的图象，即得到 函数 的图象.

故选D

9.  【答案】A

 【解析】

、

如图，该几何体可看成由长方体 和四棱锥 组合而成， 该几何体的表面积为四棱锥的侧面积、长方体的侧面积和一个底面面积之和， 其中 ，平面 平面 ， ，则可得 ，

故 ，则 .

又等腰 底边上的高为 ，

故 ，

则该几何体的表面积为:

故选: A.

10. 【答案】A

 【解析】

因为 ，

所以 ，

所以 .

因为 ，

所以 ，

所以 ，

，当且仅当 时等号成立.

要使不等式 恒成立，则 ，

解得 ，

所以实数 的取值范围是 .

故选: A.

11. 【答案】C

 【解析】

作出函数 的图象如下图所示:

由图象可知, 当 时, 直线 与函数 的图象有两个交点 ,

, 则 , 可得 ，则 ,

构造函数 , 其中 , 则 . 当 时, , 此时函数 单调递减; 当 时, , 此时函数 单调递增. 所以, ,

因此, 的最大值和最小值之和为 . 故选:C

12. 【答案】D

 【解析】

因为 ，

所以只要比较 的大小即可 ， 令 ，则 ，所以 在 上递增，

所以 ，所以 ，

所以 ，即 ，

令 ，则

因为 在 上为减函数，且 ，

所以当 时， ，

所以 在 上为减函数，

因为 ，

要比较 与 的大小，只要比较 与 的大小， 令 ，则 ， 所以 在上递增，所以 ，

所以当 时， ，所以 ，

所以 ，所以 ，

所以当 时， ，

所以 在 上递增，

所以 ，所以 ，

所以 ，所以 ，所以 ，

所以 ，

故选: D

二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）

13  设正项等比数列 的公比为 ，因为 为正项等比数列 的前 项和，且 ， 所以 ，即 所以 ，所以 (舍去) ， 又 ，所以 的值为 2 . 故答案为: 2 .

14 略

15由题意得，该正四面体在棱长为 6 的正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大， 因为棱长为 6 的正方体的内切球半径为 如图，设正四面体 为底面 的中心，连接 ，则 底面 ， 则可知 , 正四面体的高 利用勾股定理可知 ，解得: 故答案为: 

16由题意可知, 且直线 倾斜角为 , 则 则直线 方程为 , 即 设 不妨设 在第一象限，联立 , 消去 得 解得 代入直线方程, 则 因为直线 与抛物线相切于点 ,即 ，则 所以 ,同理可得 ,则可得直线 方程为 ,即 ,则其与 轴交点, 令 , 则 所以 直线 的方程为 即 ,则其与 轴交点, 令 , 则 所以 , 所以 联立 方程 , 解得 , 即 点坐标为 , . 故答案为 4 .

三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）

17. 【答案】

女性用户评分的平均值为 74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大.

（2） 故有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关.

 【解析】解: (1) 对于女性用户, 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率 为 ,

对于男性用户, 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为

所以女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示:

女性用户评分的平均值为 74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大.

（2）根据打分的频数分布表得列联表如下

故有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关.

18. 【答案】(1) ① ③, 单调递增区间为 ; (2)

 【解析】(1) 可得函数 只能同时满足(1)(3), 结合最值可求 , 结合周期可求 , 然后结合 正弦函数的性质可求;

(2) 由 可求 , 然后结合直角三角形性质及正弦定理可求.

(1) 由(1)得 , 由(2)得 ,

由(3)知 , 则 , 所以函数 只能同时满足(1)(3), 故 ,

由 得 , 故 的单调递增区间为 ;

(2) , , 即 ,

设线段 的中点为 , 即 , 由正弦定理可得 .

19. 【答案】(1)证明见解析; (2) .

 【解析】证明 得到 面 , 即可得到 .

(2) 建立空间直角坐标系, 设 , 求出平面 的法向量与面 的一个法向量, 再由

, 即可求出 的值, 即可求出答案.

解: (1) 证明: 面 面

又

又 面 面

又 面 ;

(2) 如图,

以 为原点, 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向, 建立空间直角坐标系, , 则 , 不妨设 ,

则 ,

则

易知 为面 的一个法向量 又 , 设 为面 的法向量, 则

即 取

依题意, 所以线段 长为 .

20. 【答案】(1) ;(2)证明见解析, .

 【解析】(1)写出 的坐标, 求出向量坐标, 根据向量的关系即可列出方程组, 求得 和椭圆的标准方程;

(2) 设直线 的方程为 . 联立直线 与椭圆方程, 根据韦达定理 得到根与系数的关系, 求出 , 根据 即可求得 和 的关系, 即可证明直线过 定点并求出该定点.

解: (1)由题意, 知 解得 从而 梋圆 的方程 ;

(2)设直线 的方程为 .

直线 不过点 , 因此 .

由 得 .

时, ,

.

由 , 可得 , 即 ,

故 的方程为 , 恒过定点 .

21. 【答案】(1) (2) .(3) 的取值范围为 .

 【解析】(1)利用导数的几何意义可得出结果.

(2)对 求导并讨论单调性, 即可得出 的最小值.

(3) 对 取值范围 分类讨论, 构造 并求导, 对参数 的 取值范围 分类讨论 单调性, 结合零点存在定理即可得出结果.

解:（本题满分1）

由题意得 , 即 , 解得

(2) , 则 .

(1)当 时, 由 , 则 , 所以 在 上单调递减.

(2)当 时, 由 知 ,

所以 在 上单调递增, 故 即 , 所以 在 上单调递 增, 所以, .

(3) 对 分情况讨论处理:

(i) 当 时, 不等式 等价于 , 令 , 则 ,

(1)当 时, 由 (2) 知 , 所以 单调递增, 所以 , 满足题意.

(2)当 时, 由 (2) 知 在 上单调递增, 令 , 则 , 有 , 所以当 时 , 当 时 , 所以 ,

所以 在 上单调递增, 则 , 即

所以 , 又 ,

所以存在唯一 使得 , 且当 时, 单调递减, 所以当 时, , 不满足题意

(ii) 当 时, 不等式 等价于 ,

当 时, 同（i）可知 , 所以 单调递增, 所以 , 满足题意.

当 时, 由 (2) 知 在 上单调递减

, 从而存在唯一

使得 , 且当 时, 单调递减, 所以当 时, , 不满足题意

(iii) 当 时, 对任意的 , 原不等式恒成立.

综上得, 的取值范围为 .

22. 【答案】(1) (2)

 【解析】

(1) 曲线 的参数方程消去参数即可求出曲线 的普通方程;

(2) 首先曲线 的极坐标方程转化为普通方程, 可以得到曲线 是圆, 要使曲线 上恰有三 个点到曲线 的距离为 , 圆心到直线的距离 , 求解方程即可.

解:（本题满分1）由已知得 代入 , 消去参数 得 曲线 的普通方程为 .

(2) 由曲线 的极坐标方程 得 , 又 , 所以 , 即 , 所以曲线 是圆心为 , 半径等于 的圆. 因为曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ,

所以圆心 到直线 的距离 ,

即 , 解得 .

23 【答案】(1) (2)证明见解析

 【解析】(1) 解对值不等式 , 再根据题意, 即可求出 的值;

（2）由（本题满分1）知 , 可得 , 对其两边平方, 再根据基本不等式, 即可求证结果.

解: (1)由 可得: , 即 , 即 或

的解集为 且 ;

(2) 解: 由（本题满分1） 知: