高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用达标测试

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第五章一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019青海高三月考)函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为(　　)

解析因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,选项B错误,f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g'(x)=1+cos x≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,
故x>0时,由f(x)=xg(x),得f'(x)=g(x)+xg'(x)>0,
即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有选项A正确.
答案A
2.(2019东莞实验中学高二月考)已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,则函数f(x)的单调递减区间是(　　)
A.0,12和(1,+∞) B.(0,1)和(2,+∞)
C.0,12和(2,+∞) D.12,2
解析函数f(x)=x2-5x+2ln x,其定义域为{x|x>0},则f'(x)=2x-5+2×1x=2x2-5x+2x.
令f'(x)=0,可得x1=12,x2=2.
当x∈12,2时,f'(x)<0,
故函数f(x)的单调递减区间为12,2.
答案D
3.(2020山西高二月考)若函数f(x)=ln x+12x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
解析由f(x)=ln x+12x2-bx,
可得f'(x)=x2-bx+1x(x>0),
由题意可得存在x>0,使得f'(x)=x2-bx+1x<0,
即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x+1x,由对勾函数性质易得b>2,故选B.
答案B
4.(2019福建厦门双十中学高二月考)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中,错误的是(　　)

解析对于A,若曲线C1为函数f(x)的图象,由于函数在(-∞,0)内是单调递减的,所以f'(x)<0,因此f'(x)图象在x轴的下方;又函数在(0,+∞)内是单调递增的,因此f'(x)>0,故f'(x)图象在x轴的上方,因此A符合题意.
同理,B,C中若C2为f(x)的图象,C1为f'(x)的图象也符合题意;
对于D,若曲线C1为函数f'(x)的图象,则函数f(x)在(-∞,+∞)内,与曲线C2不相符;若曲线C2为函数f'(x)的图象,则函数f(x)在(-∞,+∞)内是单调递减的,与曲线C1不相符.
答案D
5.(多选)下列函数中,在(0,+∞)内不单调的函数是(　　)
A.y=sin x
B.y=xe2
C.y=x3-x
D.y=ln x-x
解析显然y=sin x在(0,+∞)上既有增又有减,故选项A符合题意;对于函数y=xe2,因e2为大于零的常数,不用求导就知y=xe2在(0,+∞)内为增函数,故选项B不符合题意;对于C,y'=3x2-1=3x+33x-33,故函数在-∞,-33,33,+∞上为增函数,在-33,33上为减函数,故选项C符合题意;对于D,y'=1x-1=1-xx(x>0),故函数在(1,+∞)上为减函数,在(0,1)上为增函数.故选项D符合题意,故选ACD.
答案ACD
6.函数y=exx的单调递减区间是　　　　. 
解析函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y'=xex-exx2=ex(x-1)x2,令y'<0得x<1,且x≠0,故函数的单调递减区间是(-∞,0)和(0,1).
答案(-∞,0)和(0,1)
7.(2020江西高二期末)已知函数f(x)=x+bln x在区间(0,2)上不是单调函数,则b的取值范围是　　　　　. 
解析f'(x)=1+bx=x+bx,g(x)=x+b(x>0)是增函数,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).
答案(-2,0)
8.若函数g(x)=x3-ax2+1在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析因为g(x)=x3-ax2+1在区间[1,2]上单调递减,所以g'(x)=3x2-2ax≤0在区间[1,2]上恒成立,即2a≥3x在区间[1,2]上恒成立.记f(x)=3x,x∈[1,2],则f(x)max=f(2)=6,所以2a≥f(x)max=6,所以a≥3,所以实数a的取值范围是[3,+∞).
答案[3,+∞)
9.(2020凤阳第二中学高二期末)已知函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在[1,3]上是减函数,求实数a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,
所以f'(x)=2x+1-1x,f'(1)=2,又f(1)=2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y=0.
(2)方法一:因为函数f(x)在[1,3]上是减函数,
所以f'(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x≤0在[1,3]上恒成立.
令h(x)=2x2+ax-1,有h(1)≤0,h(3)≤0,得a≤-1,a≤-173,
故a≤-173.
∴实数a的取值范围为-∞,-173.
方法二:因为函数f(x)在[1,3]上是减函数,
所以f'(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x≤0在[1,3]上恒成立,
即2x2+ax-1≤0在[1,3]上恒成立,则a≤1x-2x在[1,3]上恒成立,
令φ(x)=1x-2x,显然φ(x)在[1,3]上单调递减,
则a≤φ(x)min=φ(3),得a≤-173,
∴实数a的取值范围为-∞,-173.
能力提升练
1.(2020江西高二期末)f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(　　)


解析由导函数的图象可知,当x<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)为增函数;
当0 所以函数f(x)为减函数;
当x>x1时,f'(x)>0,所以函数f(x)为增函数.
结合各选项可得C正确.故选C.
答案C
2.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2 022,对任意的x∈R,都有f'(x)<2x成立,则不等式f(x) A.(-2,+∞) B.(-2,2)
C.(-∞,-2) D.R
解析原不等式化为f(x)-x2-2 018<0,
令g(x)=f(x)-x2-2 018,
则g'(x)=f'(x)-2x.
已知对任意的x∈R,都有f'(x)<2x成立,
∴g'(x)<0恒成立,
∴g(x)在R上递减.
∵g(-2)=f(-2)-(-2)2-2 018
=2 022-4-2 018=0,
∴g(x)<0的解集为(-2,+∞),
故选A.
答案A
3.(2019醴陵第一中学高二期末)函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的x∈R,都有f'(x)>ln 2·f(x)成立,则(　　)
A.4f(3)>f(5)
B.4f(3) C.4f(3)=f(5)
D.4f(3)与f(5)大小关系不确定
解析构造函数h(x)=f(x)2x,则h'(x)=2xf'(x)-2xln2·f(x)22x=f'(x)-ln2·f(x)2x>0,故函数h(x)是R上的增函数,所以h(3) 答案B
4.已知函数f(x)=12x2+aln x,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>4恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.[4,+∞) B.(4,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,4)
解析令g(x)=f(x)-4x,因为f(x1)-f(x2)x1-x2>4,
所以g(x1)-g(x2)x1-x2>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
故g'(x)=x+ax-4≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≥4x-x2,令h(x)=4x-x2,x∈(0,+∞),
则h(x)=4x-x2≤h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为[4,+∞).故选A.
答案A
5.(多选)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围可能为(　　)
A.-1,12
B.(-∞,-1)
C.-12,1
D.12,+∞
解析函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,定义域为R,
且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin 2x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
又f'(x)=ex+e-x+2cos 2x≥2+2cos 2x≥0恒成立,∴f(x)为R上的单调增函数.
又f(2x2-1)+f(x)>0,
得f(2x2-1)>-f(x)=f(-x),
∴2x2-1>-x,即2x2+x-1>0,
解得x<-1或x>12,
所以x的取值范围是(-∞,-1)∪12,+∞.
故选BD.
答案BD
6.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是　　　　　. 
解析显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-1x=4x2-1x.
由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为12,+∞;由f'(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为0,12.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<12 答案1,32
7.若函数f(x)=ln x+x2+ax在定义域内为增函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析定义域为(0,+∞).
f'(x)=1x+2x+a.
函数f(x)=ln x+x2+ax在定义域内为增函数,即f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即1x+2x+a≥0在x>0内恒成立,因此可以得到a≥-1x+2x在x>0时恒成立,a满足:a≥-1x+2xmax.
因为x>0,所以1x+2x≥21x·2x=22,当且仅当x=22等号成立.
所以有-1x+2x≤-22,
因此实数a的取值范围是a≥-22.
答案a≥-22
8.(2020内蒙古自治区包钢一中高三月考)已知函数f(x)=3xa-2x2+ln x,其中a为常数.
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调递减函数,求a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=3x-2x2+ln x,其定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x-4x+3=-4x2+3x+1x
=-(4x+1)(x-1)x(x>0),
令f'(x)=0,解得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由题意得f'(x)=3a-4x+1x(x>0),
因为函数f(x)在区间[1,2]上为单调递减函数,
所以在区间[1,2]上f'(x)≤0恒成立,
即3a-4x+1x≤0在x∈[1,2]时恒成立,
即3a≤4x-1x(1≤x≤2),
即3a≤(4x-1x)min,其中1≤x≤2,
令h(x)=4x-1x(1≤x≤2),
易知函数h(x)在[1,2]上单调递增,
故h(1)≤h(x)≤h(2).
所以3a≤h(1),即3a≤4×1-11=3,解得a<0或a≥1.故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞).
素养培优练
　(2020新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末)已知a为常数,函数f(x)=x2+ax-ln x.
(1)过坐标原点作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0),求x0;
(2)令F(x)=f(x)ex,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调减函数,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=2x+a-1x,
所以切线的斜率为f'(x0)=2x0+a-1x0,
切线方程为y-y0=2x0+a-1x0(x-x0).
将O(0,0)代入得x02+ax0-ln x0=2x02+ax0-1,
即x02+ln x0-1=0,显然x0=1是方程的解,
又∵y=x2+ln x-1在(0,+∞)上是增函数,
∴方程x02+ln x0-1=0只有唯一解,故x0=1;
(2)F(x)=x2+ax-lnxex,
F'(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+lnxex,
设h(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+ln x,
h'(x)=-2x+1x2+1x+2-a在(0,1]上是减函数,
∴h'(x)≥h(1)=2-a,
当2-a≥0时,即a≤2时,h'(x)≥0,
∴h(x)在(0,1]是增函数,又h(1)=0,
h(x)≤0在(0,1]恒成立,即F'(x)≤0在(0,1]恒成立,∴F(x)在(0,1]上是单调递减函数,所以a≤2,满足题意,当2-a<0时,即a>2,x→0,h'(x)→+∞,
函数h'(x)有唯一的零点,设为x0,则h(x)在(0,x0)上单调递增,
在(x0,1)单调递减,又∵h(1)=0,∴h(x0)>0,
又h(e-a)<0,∴h(x)在(0,1)内存在唯一零点m,
当x∈(0,m)时,h(x)<0,F'(x)<0,
当x∈(m,1)时,h(x)>0,F'(x)>0,
从而F(x)在(0,m)单调递减,在(m,1)单调递增,
不合题意,所以a的取值范围是a≤2.