高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征教学设计

第七章随机变量及其分布

7.3　离散型随机变量的数字特征

7.3.1　离散型随机变量的均值

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若随机变量X的分布列为

则E(X)等于(　　)

A.1 B. C.4.5 D.2.65

解析E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.

答案D

2.已知Y=5X+1,E(Y)=6,则E(X)的值为(　　)

A. B.5 C.1 D.31

解析因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以E(X)=1.

答案C

3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于 (　　)

A.16 B.11 C.2.2 D.2.3

解析由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.

答案A

4.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为              (　　)

A. B. C.2 D.

解析依题意X=2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)=,

所以E(X)=2×+3×.

答案D

5.一个高考考生咨询中心有A,B,C三条咨询热线,已知某一时刻热线A,B占线的概率均为0.5,热线C占线的概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有X条占线,则E(X)=　　　　　. 

解析随机变量X可能的取值为0,1,2,3,依题意知P(X=0)=0.15,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.35,P(X=3)=0.1.故E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4.

答案1.4

6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下.

已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为　　　　　. 

解析由

解得y=0.4.

答案0.4

7.对某个数学题,甲解出的概率为,乙解出的概率为,两人独立解题.记X为解出该题的人数,则E(X)=　　　　. 

解析X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,故E(X)=0×+1×+2×.

答案

8.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止.求:

(1)抽取次数X的分布列;

(2)抽取次数X的均值.

解(1)由题意知,X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

(2)E(X)=1×+2×+3×=1.5.

9.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:

(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?

(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.

①求这两种金额之和不低于20元的概率;

②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.

解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是.

(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=.

②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为

故E(X)=5×+10×+15×+20×+25×+30×+35×=20.

能力提升练

1.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析根据题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=p,P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3,依题意有E(X)>1.75,则p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈.

答案B

2.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是(　　)

A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元

解析出海的期望效益为5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元).

答案B

3.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-2,-,-,0,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的均值E(ξ)=　　　　. 

解析当l的斜率k为±2时,直线l的方程为±2x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=;

当k为±时,ξ=;

当k为±时,ξ=;

当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列为

故E(ξ)=+1×.

答案

4.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的均值是　　　　. 

解析依题意X的取值为0,1,2,4,

则P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=4)=.

故E(X)=0×+1×+2×+4×.

答案

5.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.

解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.

(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.

6.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.

(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;

(2)若随机变量ξ的分布列为

求所收租车费η的均值;

(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.

(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.

∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.

故所收租车费η的均值为34.8元.

(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.

所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.

素养培优练

(2020重庆南开中学高三模拟)在中华人民共和国成立70周年之际,《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映,拉开国庆档电影大幕.据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元,《中国机长》票房收入为29.12亿元,《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片,在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查,其中观看了《我和我的祖国》的有49人,观看了《中国机长》的有46人,观看了《攀登者》的有34人,统计图如下.

(1)计算图中a,b,c的值;

(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人,进行观影体验的访谈,了解到他们均表示要观看第三部电影,现从这7人中随机选出4人,用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数,求X的分布列及均值.

解(1)由题意可得解得所以a的值为9,b的值为6,c的值为6.

(2)记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组,共9人;

“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组,共6人;

“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组,共6人;

所以按分层抽样,A,B,C组被抽取的人数分别为9×=3,6×=2,6×=2.

在被抽取的7人中,没有观看《我和我的祖国》的有2人,故X=0,1,2,

则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为

E(X)=0×+1×+2×.