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浙教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份浙教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是
A. AO=DO，∠A=∠D
B. AO=DO，∠B=∠C
C. AO=DO，BO=CO
D. AO=DO，AB=CD
2. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分的面积为( )
A. 42 B. 48 C. 84 D. 96
3. 如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF.下列结论：①AB:BD=2:1；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF.上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
5. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD=AC=AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A. 521
B. 25
C. 105+5
D. 35
7. 已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是( )
A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④
8. 如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是( )
A. △APP′是正三角形 B. △PCP′是直角三角形
C. ∠APB=150° D. ∠APC=135°
9. 若关于x的不等式组x<2(x−a)x−1≤23x 恰有3个整数解，则a的取值范( )
A. 0≤a<12 B. 0≤a<1 C. −12
A. 13 B. 15 C. 20 D. 22
11. 对x，y定义一种新运算，规定：T(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=a×0+b×12×0+1=b.已知T(0,1)=3，T(1,0)=12，若m满足不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1，则整数m的值为( )
A. −2和−1 B. −1和0 C. 0和1 D. 1和2
12. 数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[−2.1]=−3，给出如下结论：
①[−x]=−x；
②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x
其中正确的结论有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，CA⊥BC，垂足为C，AC=2cm，BC=6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN=AB，随着P点运动而运动。当点P运动__________秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
14. 如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上)
15. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8.求∠ADC=______度．
16. 对于整数a，b，c，d，符号abdc表示运算ac−bd.已知1<1bd4<3，则b+d的值是________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=___________；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．
18. (本小题8.0分)
如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC≠BC．
(1)请用尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)．
①作∠B的角平分线，与AC相交于点D；
②以点B为圆心、BC为半径画弧交AB于点E，连接DE．
(2)根据(1)所作的图形，写出一对全等三角形．
19. (本小题8.0分)
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD．
20. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠B=60°，D是BC上一点，且AD=AC．
(1)如图1，延长BC至E，使CE=BD，连接AE.求证：AB=AE；
(2)如图2，在AB边上取一点F，使DF=DB，求证：AF=BC；
(3)如图3，在(2)的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．
21. (本小题8.0分)
如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰．你能找到几个这样的点？把它们都画出来．
22. (本小题8.0分)
近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两条相交的公路内(如图所示).医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路的距离相等，②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．
23. (本小题8.0分)
非负数a，b，c满足a+b=9，c−a=3，设y=a+b+c的最大值为m，最小值为n，求m−n的值．
24. (本小题8.0分)
请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集的过程．
对于绝对值不等式|x|<3，从图1的数轴上看：大于−3而小于3的数的绝对值小3，所以|x|<3的解集为−3
(1)求绝对值不等式|x−3|<2的解集；
(2)|x−5|>a(a>0)
(3)已知绝对值不等式|2x−1|
春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%(不考虑其他因素)，那么每箱饮料的标价至少多少元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，根据ASA可以判定两个三角形全等.注意，用ASA判定三角形全等的时两个角和边的关系是两角夹边．
【解答】
解：在△AOB和△DOC中
∠A=∠DAO=DO∠AOB=∠DOC
∴△AOB≌△DOC(ASA)．
故选A．
2.【答案】B
【解析】由题意可知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6，
∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC=S△DEF，
∴S△ABC−S△COE=S△DEF−S△COE，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+OE)⋅BE=12×(10+6)×6=48.故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定，角的平分线，面积法等，
根据折叠得到BD=DE，比较DC和DE，进而得出BD≠12BC，即可判定①；由折叠可先得到三组全等三角形，再由“HL”判定第四组全等，即可分析②；利用折叠分析角度之间的关系可判定③；利用角的平分线、三角形的外角及内角和，再利用等角对等边判定④；连接CF，用面积法判定⑤．
【解答】
解：①由折叠可得BD=DE，而DC>DE，
∴DC>BD，
∴BD≠12BC
∵AB=CB，
∴AB:BD≠2:1，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，(由折叠可知)
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
AB=CBBO=BO,
∴Rt△AOB≌Rt△COB(HL)，
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF=45°，
∴∠AEF=∠DEF=45°，
∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为△ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
∴∠BDF=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确．
⑤连接CF，
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF//CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确；
正确的有3个．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由∠AOB=∠COD=40°，得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD， ①正确;
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40∘， ②正确;
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：
则∠OGC=∠OHD=90∘，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC， ④正确;
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA>OC矛盾，
∴ ③错误;
故正确的是①②④，
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的定义，关键是先由，AD=AC，DE=EC，判定①正确；
再利用SAS证明△DEB≌△CEA得AC=DB，证明△ABD是等边三角形，判定③正确；
由△DEB≌△CEA得∠EAH=∠EBD证明∠AEH=∠BGH=90°，根据等腰三角形的性质得AC平分∠BAD，判定②正确；
由∠DAG=∠BAG=12∠BAD=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得∠ADC=∠ACB=75°即可判断④正确．
【解答】
解：如图：
∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，
∴EC=ED，EA=EB，∠EDC=∠DCE=∠EAB=∠EBA=45°，∠DEC=∠AEB=90°
∵AD=AC=AB，
∴点A、点E在CD的垂直平分线上，
∴AE垂直平分CD，故①正确；
∵∠DEC=∠AEB，
∴∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，
∴∠DEB=∠CEA，
又∵EC=ED，EA=EB，
∴△DEB≌△CEA，
∴DB=CA，∠EAH=∠EBD，
∴DB=CA=AB，
∴△ABD是等边三角形，故③正确；
又∵∠EHA=∠BHC，
∴∠AEH=∠BGH=90°，
∴∠DAG=∠BAG=12∠BAD=30°，DG=BG
∴AC平分∠BAD，故②正确；
∵AB=AC=AD，
∴∠ADC=∠ACB=75°，
∴∠BCD=150°，故④正确．
综上所述：正确的个数有4个．
故选D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题，勾股定理以及分类讨论的思想．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”分三种情况讨论即可得出结果．
【解答】
解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，分三种情况进行讨论：
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=AD2+BD2=152+202=625=25．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+302=925=537．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=BD2+AD2=102+252=529；
由于25<529<537，
所以需要爬行的最短距离是25．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
【解答】
解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°−∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PB，
∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP,
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP′C≌△APB，则AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP′是正三角形，又PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°，
又△APP′是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=150°
错误的结论只能是∠APC=135°．
故选：D．
先运用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60°，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90°，由此得解．
解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：x<2(x−a) ①x−1≤23x ②，
∵解不等式①得：x>2a，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是2a
∴0≤2a<1，
解得：0≤a<12，
故选A．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．
10.【答案】B
【解析】解：原不等式组的解集为−72
所以0≤m−25<1，
解得2≤m<7．
原分式方程的解为y=8m−1，
因为分式方程有非负数解，
所以8m−1≥0，解得m>1，且m≠5，因为m=5时y=2是原分式方程的増根．
所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6=15．
故选：B．
根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围．
11.【答案】C
【解析】解：∵T(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，T(0,1)=3，T(1,0)=12，
∴a×0+b×12×0+1=3，a×1+b×02×1+0=12，
∴b=3，a=1，
∴T(x,y)=x+3y2x+y，
∴T(2m,5−4m)=2m+3(5−4m)4m+5−4m=−2m+3≤4，解得m≥−12，
T(m,3−2m)=m+3(3−2m)2m+3−2m=9−5m3≥1，解得m≤65，
∴不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1的解集为−12≤m≤65，
∴整数m的值为0，1．
故选：C．
先根据新定义，由T(0,1)=3，T(1,0)=12，求出b=3，a=1，则T(x,y)=x+3y2x+y，然后解不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1，求出m的解集，即可确定整数m的值．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，新定义，根据新运算的规定正确求出a与b的值是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：因为[−3.1]=−4≠−3，所以[−x]≠−x，故①错误；
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x
当0
4x−2[x]+5=0，
2x−[x]+52=0，
x−[x]=−x−52，
∴0≤−x−52<1，
∴−3.5
当−3≤x≤−2.5时，方程变形为4x−2×(−3)+5=0，
解得x=−2.75；
所以−3.25与−2.75都是方程4x−2[x]+5=0的解．故④是错误的．
故选：B．
①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当−1
13.【答案】0或4或8或12
【解析】解：①当P在线段BC上，AC=BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC=2，
∴BP=2，
∴CP=6−2=4，
∴点P的运动时间为4÷1=4(秒)；
②当P在线段BC上，AC=BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC=PB=6，CP=0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC=BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC=2，
∴BP=2，
∴CP=2+6=8，
∴点P的运动时间为8÷1=8(秒)；
④当P在BQ上，AC=NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC=6，
∴BP=6，
∴CP=6+6=12，
点P的运动时间为12÷1=12(秒)，
故答案为：0或4或8或12．
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC=BP或AC=BN进行计算即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14.【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠ADC=∠BEC，得到△CDP≌△CEQ(ASA)，再根据∠QPC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出结论；
④根据DE>QE，且DP=QE，可知DE>DP，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，求出BC//DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，由全等三角形的性质可推出∠DEO=∠DAC，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【解答】
解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正确；
②∠DCP=180°−2×60°=60°=∠ECQ，
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BECCD=CE∠DCP=∠ECQ,
∴△CDP≌△CEQ(ASA)．
∴CP=CQ，DP=QE，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ//AE，②正确；
③同②得：△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，③正确；
④∵DE>QE，且DP=QE，
∴DE>DP，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC//DE，
∴∠CBE=∠DEO，
由(1)得∠CBE=∠DAC，
∴∠DEO=∠DAC，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确；
故答案为①②③⑤ ．
15.【答案】150
【解析】
【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，连接BD，根据AB=AD=4，∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ADB=60°，BD=4，根据BD2+CD2=42+82=452=BC2，得到∠BDC=90°，即可求出∠ADC的度数．
【解答】
解：如图，连接BD，
∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=45，CD=8，
∴BD2+CD2=42+82=452=BC2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
故答案为150．
16.【答案】3或−3
【解析】
【分析】
本题考查了新定义运算及解不等式.解题的关键是根据新定义运算的法则将1<|1bd4|<3转化成1<4−bd<3，再由不等式的性质可得1
解：由1<|1bd4|<3，得1<4−bd<3，
由4−bd>1，得bd<3，
由4−bd<3，得bd>1．
所以1
当b=1时，d=2，b+d=3；
当b=−1时，d=−2，b+d=−3；
当b=2时，d=1，b+d=3；
当b=−2时，d=−1，b+d=−3；
综上知b+d=3或b+d=−3．
故答案为3或−3．
17.【答案】解：(1)连结AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠CAD+∠C，
∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
(2)①40°
②90°．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)①∠B的角平分线BD如图所示．
②所作DE如图所示．
(2)△BDC≌△BDE，
证明如下：
∵BD是∠B的角平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
在△BDC与△BDE中，
BC=BE∠CBD=∠ABDBD=BD，
∴△BDC≌△BDE．
【解析】此题主要考查了作图−复杂作图，画角的平分线及全等三角形的判定，解题的关键是熟悉基本作图的作图方法，逐步操作．
(1)①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA、BC于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，作过点B和这点的射线交AC于D点，即为∠B的角平分线；
②根据题意画出以点B为圆心、BC为半径画弧交AB于点E，再连接DE即可求解；
(2)由于BC=BE，∠CBD=∠ABD，BD为公共边，根据SAS易得△BDC≌△BDE．
19.【答案】证明：在△AOB与△COD中，
∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【解析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
20.【答案】证明：(1)∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴180°−∠ADC=180°−∠ACD，
即∠ADB=∠ACE，
在△ADB和△ACE中
{AD=AC∠ADB=∠ACEDB=CE,
∴△ADB≌△ACE(SAS)，
∴AB=AE；
(2)延长BC至点E，使得CE=BD，连接AE，
由(1)得AB=AE，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，
∵DF=DB，∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD
∵△ADB≌△ACE，
∴BD=EC，
∴BF=CE，
∴AB−BF=BE−CE，
即AF=BC；
(3)PC=2BD，理由如下：
在PC上截取CE=BD，连接AE，
由(2)可知△EAB，△BDF均为等边三角形，
∴∠AEB=∠EAB=∠B=∠BDF=60°，
∴∠AEP=∠PDF，
∵PA=PF，
∴∠PAF=∠PFA，
∴∠PAE+∠EAF=∠FPD+∠B，
∴∠PAE=∠FPD，
在△PAE和△FPD中，
{∠PEA=∠PDF∠PAE=∠FPDPA=FP,
∴△PAE≌△FPD(AAS)，
∴PE=FD，
又∵△BDF为等边三角形，
∴FD=BD，
∴PE=BD，
∵PC=PE+EC，
∴PC=BD+BD=2BD．
【解析】本题是一道三角形综合题，主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．
(1)先说明∠ADB=∠ACE，再证△ADB≌△ACE(SAS)，由全等三角形的性质即可证得结论成立；
(2)延长BC至点E，使得CE=BD，连接AE，可证△ABE是等边三角形，进而可证△BDF是等边三角形，由等边三角形的性质可知BF=BD，由△ADB≌△ACE，可知BD=EC，从而可证得BF=CE，即可证得结论成立；
(3)在PC上截取CE=BD，连接AE，由(2)可知△EAB，△BDF均为等边三角形，先说明∠AEP=∠PDF，再证∠PAE=∠FPD，从而可证得△PAE≌△FPD(AAS)，由全等三角形的性质可知PE=FD，在等边△BDF中，FD=BD，从而PE=BD，即可证得PC=2BD．
21.【答案】解：∵AB=12+22 =5，
共有5个点，图中点C1，C2，C3，C4，C5均可
【解析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
22.【答案】解：(1)画出角平分线；
(2)作出垂直平分线；
交点P即满足条件．
【解析】本题主要考查了作图−应用与设计作图以及角平分线和垂直平分线的性质，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，画出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．
23.【答案】解：∵a，b，c为非负数；
∴y=a+b+c≥0；
又∵c−a=3；
∴c=a+3；
∴c≥3；
∵a+b=9；
∴y=a+b+c=9+c；
又∵c≥3；
∴c=3时y最小，即y最小=12；
∴n=12；
∵a+b=9；
∴a≤9；
∴y=a+b+c=9+c=9+a+3=12+a；
∴a=9时y最大，即y最大=21；
∴m=21；
∴m−n=21−12=9．
【解析】本题考查的是不等式的基本性质和等式的性质有关知识，由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0，根据a+b=9和c−a=3推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=9和c−a=3把y=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
24.【答案】解：(1)根据绝对值的定义得：−2
解得x>5+a或x<5−a；
(3)∵|2x−1|
解得a=5b=−2，
则a−2b=5+4=9．
【解析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的能力．
(1)由绝对值的定义求得解集；
(2)由绝对值的定义x−5>a或x−5<−a，从而求得解集；
(3)由|2x−1|
25.【答案】解：(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，
根据题意，得6000x×43=8800x+20
解得：x=200．
(2)设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得(30+40−10)y+0.8×10y≥(1+36%)(6000+8800)
解得：y≥296
答：至少标价296元．
【解析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；
(2)设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
浙教版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是
A. AO=DO，∠A=∠D
B. AO=DO，∠B=∠C
C. AO=DO，BO=CO
D. AO=DO，AB=CD
2. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分的面积为( )
A. 42 B. 48 C. 84 D. 96
3. 如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF.下列结论：①AB:BD=2:1；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF.上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
5. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD=AC=AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A. 521
B. 25
C. 105+5
D. 35
7. 已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是( )
A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④
8. 如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是( )
A. △APP′是正三角形 B. △PCP′是直角三角形
C. ∠APB=150° D. ∠APC=135°
9. 若关于x的不等式组x<2(x−a)x−1≤23x 恰有3个整数解，则a的取值范( )
A. 0≤a<12 B. 0≤a<1 C. −12
A. 13 B. 15 C. 20 D. 22
11. 对x，y定义一种新运算，规定：T(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=a×0+b×12×0+1=b.已知T(0,1)=3，T(1,0)=12，若m满足不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1，则整数m的值为( )
A. −2和−1 B. −1和0 C. 0和1 D. 1和2
12. 数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[−2.1]=−3，给出如下结论：
①[−x]=−x；
②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x
其中正确的结论有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，CA⊥BC，垂足为C，AC=2cm，BC=6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN=AB，随着P点运动而运动。当点P运动__________秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
14. 如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上)
15. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8.求∠ADC=______度．
16. 对于整数a，b，c，d，符号abdc表示运算ac−bd.已知1<1bd4<3，则b+d的值是________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=___________；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．
18. (本小题8.0分)
如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC≠BC．
(1)请用尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)．
①作∠B的角平分线，与AC相交于点D；
②以点B为圆心、BC为半径画弧交AB于点E，连接DE．
(2)根据(1)所作的图形，写出一对全等三角形．
19. (本小题8.0分)
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD．
20. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠B=60°，D是BC上一点，且AD=AC．
(1)如图1，延长BC至E，使CE=BD，连接AE.求证：AB=AE；
(2)如图2，在AB边上取一点F，使DF=DB，求证：AF=BC；
(3)如图3，在(2)的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．
21. (本小题8.0分)
如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰．你能找到几个这样的点？把它们都画出来．
22. (本小题8.0分)
近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两条相交的公路内(如图所示).医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路的距离相等，②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．
23. (本小题8.0分)
非负数a，b，c满足a+b=9，c−a=3，设y=a+b+c的最大值为m，最小值为n，求m−n的值．
24. (本小题8.0分)
请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集的过程．
对于绝对值不等式|x|<3，从图1的数轴上看：大于−3而小于3的数的绝对值小3，所以|x|<3的解集为−3
(1)求绝对值不等式|x−3|<2的解集；
(2)|x−5|>a(a>0)
(3)已知绝对值不等式|2x−1|
春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%(不考虑其他因素)，那么每箱饮料的标价至少多少元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定，根据ASA可以判定两个三角形全等.注意，用ASA判定三角形全等的时两个角和边的关系是两角夹边．
【解答】
解：在△AOB和△DOC中
∠A=∠DAO=DO∠AOB=∠DOC
∴△AOB≌△DOC(ASA)．
故选A．
2.【答案】B
【解析】由题意可知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6，
∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC=S△DEF，
∴S△ABC−S△COE=S△DEF−S△COE，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+OE)⋅BE=12×(10+6)×6=48.故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定，角的平分线，面积法等，
根据折叠得到BD=DE，比较DC和DE，进而得出BD≠12BC，即可判定①；由折叠可先得到三组全等三角形，再由“HL”判定第四组全等，即可分析②；利用折叠分析角度之间的关系可判定③；利用角的平分线、三角形的外角及内角和，再利用等角对等边判定④；连接CF，用面积法判定⑤．
【解答】
解：①由折叠可得BD=DE，而DC>DE，
∴DC>BD，
∴BD≠12BC
∵AB=CB，
∴AB:BD≠2:1，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，(由折叠可知)
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
AB=CBBO=BO,
∴Rt△AOB≌Rt△COB(HL)，
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF=45°，
∴∠AEF=∠DEF=45°，
∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为△ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
∴∠BDF=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确．
⑤连接CF，
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF//CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确；
正确的有3个．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由∠AOB=∠COD=40°，得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD， ①正确;
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40∘， ②正确;
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：
则∠OGC=∠OHD=90∘，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC， ④正确;
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA>OC矛盾，
∴ ③错误;
故正确的是①②④，
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的定义，关键是先由，AD=AC，DE=EC，判定①正确；
再利用SAS证明△DEB≌△CEA得AC=DB，证明△ABD是等边三角形，判定③正确；
由△DEB≌△CEA得∠EAH=∠EBD证明∠AEH=∠BGH=90°，根据等腰三角形的性质得AC平分∠BAD，判定②正确；
由∠DAG=∠BAG=12∠BAD=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得∠ADC=∠ACB=75°即可判断④正确．
【解答】
解：如图：
∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，
∴EC=ED，EA=EB，∠EDC=∠DCE=∠EAB=∠EBA=45°，∠DEC=∠AEB=90°
∵AD=AC=AB，
∴点A、点E在CD的垂直平分线上，
∴AE垂直平分CD，故①正确；
∵∠DEC=∠AEB，
∴∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，
∴∠DEB=∠CEA，
又∵EC=ED，EA=EB，
∴△DEB≌△CEA，
∴DB=CA，∠EAH=∠EBD，
∴DB=CA=AB，
∴△ABD是等边三角形，故③正确；
又∵∠EHA=∠BHC，
∴∠AEH=∠BGH=90°，
∴∠DAG=∠BAG=12∠BAD=30°，DG=BG
∴AC平分∠BAD，故②正确；
∵AB=AC=AD，
∴∠ADC=∠ACB=75°，
∴∠BCD=150°，故④正确．
综上所述：正确的个数有4个．
故选D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题，勾股定理以及分类讨论的思想．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”分三种情况讨论即可得出结果．
【解答】
解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，分三种情况进行讨论：
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=AD2+BD2=152+202=625=25．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+302=925=537．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=BD2+AD2=102+252=529；
由于25<529<537，
所以需要爬行的最短距离是25．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
【解答】
解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°−∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PB，
∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP,
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP′C≌△APB，则AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP′是正三角形，又PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°，
又△APP′是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=150°
错误的结论只能是∠APC=135°．
故选：D．
先运用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60°，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90°，由此得解．
解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：x<2(x−a) ①x−1≤23x ②，
∵解不等式①得：x>2a，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是2a
∴0≤2a<1，
解得：0≤a<12，
故选A．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．
10.【答案】B
【解析】解：原不等式组的解集为−72
所以0≤m−25<1，
解得2≤m<7．
原分式方程的解为y=8m−1，
因为分式方程有非负数解，
所以8m−1≥0，解得m>1，且m≠5，因为m=5时y=2是原分式方程的増根．
所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6=15．
故选：B．
根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围．
11.【答案】C
【解析】解：∵T(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，T(0,1)=3，T(1,0)=12，
∴a×0+b×12×0+1=3，a×1+b×02×1+0=12，
∴b=3，a=1，
∴T(x,y)=x+3y2x+y，
∴T(2m,5−4m)=2m+3(5−4m)4m+5−4m=−2m+3≤4，解得m≥−12，
T(m,3−2m)=m+3(3−2m)2m+3−2m=9−5m3≥1，解得m≤65，
∴不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1的解集为−12≤m≤65，
∴整数m的值为0，1．
故选：C．
先根据新定义，由T(0,1)=3，T(1,0)=12，求出b=3，a=1，则T(x,y)=x+3y2x+y，然后解不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1，求出m的解集，即可确定整数m的值．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，新定义，根据新运算的规定正确求出a与b的值是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：因为[−3.1]=−4≠−3，所以[−x]≠−x，故①错误；
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x
当0
4x−2[x]+5=0，
2x−[x]+52=0，
x−[x]=−x−52，
∴0≤−x−52<1，
∴−3.5
当−3≤x≤−2.5时，方程变形为4x−2×(−3)+5=0，
解得x=−2.75；
所以−3.25与−2.75都是方程4x−2[x]+5=0的解．故④是错误的．
故选：B．
①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当−1
13.【答案】0或4或8或12
【解析】解：①当P在线段BC上，AC=BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC=2，
∴BP=2，
∴CP=6−2=4，
∴点P的运动时间为4÷1=4(秒)；
②当P在线段BC上，AC=BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC=PB=6，CP=0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC=BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC=2，
∴BP=2，
∴CP=2+6=8，
∴点P的运动时间为8÷1=8(秒)；
④当P在BQ上，AC=NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC=6，
∴BP=6，
∴CP=6+6=12，
点P的运动时间为12÷1=12(秒)，
故答案为：0或4或8或12．
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC=BP或AC=BN进行计算即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14.【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠ADC=∠BEC，得到△CDP≌△CEQ(ASA)，再根据∠QPC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出结论；
④根据DE>QE，且DP=QE，可知DE>DP，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，求出BC//DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，由全等三角形的性质可推出∠DEO=∠DAC，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【解答】
解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正确；
②∠DCP=180°−2×60°=60°=∠ECQ，
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BECCD=CE∠DCP=∠ECQ,
∴△CDP≌△CEQ(ASA)．
∴CP=CQ，DP=QE，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ//AE，②正确；
③同②得：△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，③正确；
④∵DE>QE，且DP=QE，
∴DE>DP，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC//DE，
∴∠CBE=∠DEO，
由(1)得∠CBE=∠DAC，
∴∠DEO=∠DAC，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确；
故答案为①②③⑤ ．
15.【答案】150
【解析】
【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，连接BD，根据AB=AD=4，∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ADB=60°，BD=4，根据BD2+CD2=42+82=452=BC2，得到∠BDC=90°，即可求出∠ADC的度数．
【解答】
解：如图，连接BD，
∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=45，CD=8，
∴BD2+CD2=42+82=452=BC2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
故答案为150．
16.【答案】3或−3
【解析】
【分析】
本题考查了新定义运算及解不等式.解题的关键是根据新定义运算的法则将1<|1bd4|<3转化成1<4−bd<3，再由不等式的性质可得1
解：由1<|1bd4|<3，得1<4−bd<3，
由4−bd>1，得bd<3，
由4−bd<3，得bd>1．
所以1
当b=1时，d=2，b+d=3；
当b=−1时，d=−2，b+d=−3；
当b=2时，d=1，b+d=3；
当b=−2时，d=−1，b+d=−3；
综上知b+d=3或b+d=−3．
故答案为3或−3．
17.【答案】解：(1)连结AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠CAD+∠C，
∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
(2)①40°
②90°．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)①∠B的角平分线BD如图所示．
②所作DE如图所示．
(2)△BDC≌△BDE，
证明如下：
∵BD是∠B的角平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
在△BDC与△BDE中，
BC=BE∠CBD=∠ABDBD=BD，
∴△BDC≌△BDE．
【解析】此题主要考查了作图−复杂作图，画角的平分线及全等三角形的判定，解题的关键是熟悉基本作图的作图方法，逐步操作．
(1)①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA、BC于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，作过点B和这点的射线交AC于D点，即为∠B的角平分线；
②根据题意画出以点B为圆心、BC为半径画弧交AB于点E，再连接DE即可求解；
(2)由于BC=BE，∠CBD=∠ABD，BD为公共边，根据SAS易得△BDC≌△BDE．
19.【答案】证明：在△AOB与△COD中，
∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【解析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
20.【答案】证明：(1)∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴180°−∠ADC=180°−∠ACD，
即∠ADB=∠ACE，
在△ADB和△ACE中
{AD=AC∠ADB=∠ACEDB=CE,
∴△ADB≌△ACE(SAS)，
∴AB=AE；
(2)延长BC至点E，使得CE=BD，连接AE，
由(1)得AB=AE，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，
∵DF=DB，∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD
∵△ADB≌△ACE，
∴BD=EC，
∴BF=CE，
∴AB−BF=BE−CE，
即AF=BC；
(3)PC=2BD，理由如下：
在PC上截取CE=BD，连接AE，
由(2)可知△EAB，△BDF均为等边三角形，
∴∠AEB=∠EAB=∠B=∠BDF=60°，
∴∠AEP=∠PDF，
∵PA=PF，
∴∠PAF=∠PFA，
∴∠PAE+∠EAF=∠FPD+∠B，
∴∠PAE=∠FPD，
在△PAE和△FPD中，
{∠PEA=∠PDF∠PAE=∠FPDPA=FP,
∴△PAE≌△FPD(AAS)，
∴PE=FD，
又∵△BDF为等边三角形，
∴FD=BD，
∴PE=BD，
∵PC=PE+EC，
∴PC=BD+BD=2BD．
【解析】本题是一道三角形综合题，主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．
(1)先说明∠ADB=∠ACE，再证△ADB≌△ACE(SAS)，由全等三角形的性质即可证得结论成立；
(2)延长BC至点E，使得CE=BD，连接AE，可证△ABE是等边三角形，进而可证△BDF是等边三角形，由等边三角形的性质可知BF=BD，由△ADB≌△ACE，可知BD=EC，从而可证得BF=CE，即可证得结论成立；
(3)在PC上截取CE=BD，连接AE，由(2)可知△EAB，△BDF均为等边三角形，先说明∠AEP=∠PDF，再证∠PAE=∠FPD，从而可证得△PAE≌△FPD(AAS)，由全等三角形的性质可知PE=FD，在等边△BDF中，FD=BD，从而PE=BD，即可证得PC=2BD．
21.【答案】解：∵AB=12+22 =5，
共有5个点，图中点C1，C2，C3，C4，C5均可
【解析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
22.【答案】解：(1)画出角平分线；
(2)作出垂直平分线；
交点P即满足条件．
【解析】本题主要考查了作图−应用与设计作图以及角平分线和垂直平分线的性质，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，画出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．
23.【答案】解：∵a，b，c为非负数；
∴y=a+b+c≥0；
又∵c−a=3；
∴c=a+3；
∴c≥3；
∵a+b=9；
∴y=a+b+c=9+c；
又∵c≥3；
∴c=3时y最小，即y最小=12；
∴n=12；
∵a+b=9；
∴a≤9；
∴y=a+b+c=9+c=9+a+3=12+a；
∴a=9时y最大，即y最大=21；
∴m=21；
∴m−n=21−12=9．
【解析】本题考查的是不等式的基本性质和等式的性质有关知识，由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0，根据a+b=9和c−a=3推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=9和c−a=3把y=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
24.【答案】解：(1)根据绝对值的定义得：−2
解得x>5+a或x<5−a；
(3)∵|2x−1|
解得a=5b=−2，
则a−2b=5+4=9．
【解析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的能力．
(1)由绝对值的定义求得解集；
(2)由绝对值的定义x−5>a或x−5<−a，从而求得解集；
(3)由|2x−1|
25.【答案】解：(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，
根据题意，得6000x×43=8800x+20
解得：x=200．
(2)设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得(30+40−10)y+0.8×10y≥(1+36%)(6000+8800)
解得：y≥296
答：至少标价296元．
【解析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；
(2)设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
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