湖南省长沙市周南中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题（含答案）

长沙市周南中学2023届高三第二次月考数学试题

时量：120分钟  分量：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（    ）

A.  B.  C.   D.

2.函数的图象大致为（    ）

A.     B.

C.     D.

3.已知等比数列的前n项和为，且，，，成等差数列，则（    ）

A.    B.    C.3     D.4

4.已知正方形ABCD的对角线，点P在另一对角线BD上，则的值为（    ）

A.    B.2     C.1     D.4

5.直线与椭圆相交于A，B两点，设O为坐标原点，“”是“的面积为”的（    ）

A.充分不必要条件       B.必要不充分条件

C.充要条件        D.既不充分也不必要条件

6.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数n满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.设函数，若，，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

8.在正方体中，，点E是线段AB上靠近点A的三等分点，在三角形内有一动点P（包括边界），则的最小值是（    ）

A.2     B.    C.3     D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.在中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.若，则

C.

D.若，且，则为等边三角形

10.已知定义域为R的函数满足，函数

，若函数为奇函数，则的值可以为（    ）

A.    B.    C.     D.

11.已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ）

A.        B.

C.       D.

12.若函数存在两个极值点，，则（    ）

A.函数至少有一个零点    B.或

C.        D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知是关于x的方程的根，则实数______.

14.双曲线的渐近线方程为，则______.

15.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最大值为______.

16.公比为q的等比数列满足：，记，则当q最小时，使成立的最小n值是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列满足，，且.

（1）当成等差数列时，求k的值；

（2）当且，时，求及的通项公式.

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，

平面，E为PD中点.

（1）若，求证：平面PCD；

（2）当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥的体积.

19.（本小题满分12分）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；

投不进则没有奖励.游客各次投球是否投进相互独立.

（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的极大值点；

（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由.

20.（本小题满分12分）如图，在中，D为AC的中点，且

（1）证明：；

（2）若，求.

21.（本小题满分12分）已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M.若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分12分）已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）证明：

长沙市周南中学2023届高三第二次月考数学试题

时量：120分钟  分量：150分 命题人：王立象 审题人：陈秀丽

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

【详解】由题意可知，，

又因为，所以．选B

2.

【详解】函数的定义域为，

，所以，函数为奇函数，排除B选项；

当时，，则，排除D选项；

∵，，则，所以，函数

在上不是减函数，排除A选项．故选：C.

3.答案B

4.答案B

5.答案A

6.答案A

7.

【解析】函数为偶函数且为其一条对称轴，故

，显然，故.

因为，，，所以，所以.故选：D.

8.

解：以D为坐标原点，，，为x，y，z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设A关于平面的对称点为，则

，平面的法向量是又A与到平面的距离

，又，设∴

而∴ 

∴（当且仅当，P，E三点共线时取等号），即

的最小值为3.故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.

【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；

B：当，时，有，错误；

C：，而，即，

由正弦定理易得，正确；

D：如下图，，是单位向量，则，即

、，则且AG平分，，的夹角为，

易知为等边三角形，正确.

故选：ACD

10.

【解析】因为，所以关于点对称，

要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，

所以只需使为偶函数即可，所以，，

故符合题意的有B、D；故选：BD.

11.答案AC

12.

【详解】对于A，

，∴是的一个零点，故A正确；

对于B，∵存在两个极值点，，

∴有两个不相等的实数根，即有两个变号零点，

∴，即，∴或

又，，∴，解得综上，，故B错误；

对于C，由B选项可得，，∴，∴，∴

故C正确；

对于D，

将，代入上式

令

有在上单调递增，

∴，故D正确.故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案

14.答案

15.

【详解】∵，∴，

∴

，，，

∵，，∴，

即∴的最大值为.

16.

解：构造函数，

此时；∴ 答案15.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.

解：（1）因为成等差数列，所以，

所以，又，所以.

（2）因为，所以，，

所以，所以，

因为，又由，

所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，

所以，

∴所以.

18.

【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD

∴∵四边形ABCD为矩形，∴

又，AD，平面PAD

∴平面PAD，∴平面PAD，∴

在中，，E为PD中点，∴

又，PD，平面PCD，∴平面PCD.

（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，

∴，，，

设平面ACE的一个法向量为，则

，∴，令，解得.

∴.

设直线PC与平面ACE所成角为，则

，

当且仅当时，等号成立.

∴三棱锥的体积.

19.

解：（1）3次向A桶投球投进2次的概率.

.令，得.

当时，；当时，.

∴在上单调递增，在单调递减，

∴所以的极大值点.

（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，，.

设投进A箱的纯收入为X元，；

设投进B精的纯收入为Y元。；

设投进C箱的纯收入为Z元，；

因为所以游客甲选择向B桶投球更有利.

20.

解：（1）因为D为AC的中点，

故∴

又，于是.

（2）设

则，∴，.

在中，∴.

21.

解析：（1）将代入，得；∴，，

所以抛物线C的方程为.

（2）设直线，，.

联立，整理得，

所以，.

假设存在以弦AB为直径的圆恒过点

则恒成立

化简得

令，

故以弦AB为直径的圆恒过点.

22.

解：（1），当时，，当时，，在

上单调递增，在上单调递减所以，即当时，取最大值1.

（2）由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，

即当时，，

，

所以

.