(新高考)高考数学一轮复习讲与练第2章§2.6《指数与指数函数》(含详解)
展开这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第2章§2.6《指数与指数函数》(含详解),共19页。试卷主要包含了)),28,T=6等内容,欢迎下载使用。
2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.
知识梳理
1.根式
(1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
(3)(eq \r(n,a))n=a.
当n为奇数时,eq \r(n,an)=a,
当n为偶数时,eq \r(n,an)=|a|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a,a≥0,,-a,a<0.))
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂, SKIPIF 1 < 0 =eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂, SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈R).
4.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,-44)=-4.( × )
(2)2a·2b=2ab.( × )
(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ )
(4)若am
1.化简 SKIPIF 1 < 0 的结果为( )
A.5 B.eq \r(5)
C.-eq \r(5) D.-5
答案 B
解析 原式= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =eq \r(5).
2.函数f(x)=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
答案 (1,3)
3.已知a= SKIPIF 1 < 0 ,b= SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 ,则a,b,c的大小关系是________.
答案 c解析 ∵y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x是R上的减函数,
∴ SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0,即a>b>1,
又c= SKIPIF 1 < 0
例1 (1)(2022·沧州联考) SKIPIF 1 < 0 (a>0,b>0)=________.
答案 eq \f(8,5)
解析 原式= SKIPIF 1 < 0 =eq \f(8,5).
(2)若 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =3(x>0),则 SKIPIF 1 < 0 =________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =3,
两边平方,得x+x-1=7,
再平方得x2+x-2=47,
∴x2+x-2-2=45.
SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 (x-1+x-1)
=3×(7-1)=18.
∴ SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,3).
教师备选
(2022·杭州模拟)化简 SKIPIF 1 < 0 (a>0,b>0)的结果是( )
A.eq \f(b,a) B.eq \f(a,b) C.eq \f(a2,b) D.eq \f(b2,a)
答案 B
解析 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
=ab-1=eq \f(a,b).
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 (1)已知a>0,则 SKIPIF 1 < 0 化为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 原式= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(2)计算: SKIPIF 1 < 0 -eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))0+eq \r(4,3-π4)+ SKIPIF 1 < 0 =________.
答案 π+8
解析 原式= SKIPIF 1 < 0 -1+|3-π|+23=4-1+π-3+8=π+8.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列等式可以成立的是( )
A.a=b=0 B.aC.0答案 ABD
解析 如图,观察易知,a(2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0,2).
教师备选
在同一直角坐标系中,指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x,二次函数y=ax2-bx的图象可能是( )
答案 B
解析 指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象位于x轴上方,据此可区分两函数图象.二次函数y=ax2-bx=(ax-b)x,有零点eq \f(b,a),0.
A,B选项中,指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x在R上单调递增,故eq \f(b,a)>1,故A错误,B正确.
C,D选项中,指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x在R上单调递减,故0
(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
跟踪训练2 (1)(2022·吉林模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )
答案 A
解析 由图象可知,b<-1,0所以函数g(x)=ax+b是减函数,
g(0)=1+b<0,所以选项A符合.
(2)(2022·哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x+a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,e)-1)) D.(-∞,-1)
答案 B
解析 由题设知,∃x>0使x+a
∴x>0时有y1=e-x∈(0,1),
而y=x+a∈(a,+∞),
∴当a<1时,∃x>0,使得ex(x+a)<1成立.
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例3 (1)(2022·永州模拟)若a=0.30.7,b=0.70.3,c=1.20.3,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.a>c>b
答案 B
解析 ∵函数y=0.3x在R上是减函数,
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30=1,
又∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,
0.3<0.7,
∴0<0.30.3<0.70.3,
∴0而函数y=1.2x是R上的增函数,
∴c=1.20.3>1.20=1,∴c>b>a.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
答案 A
解析 设函数f(x)=2x-3-x.
因为函数y=2x与y=-3-x在R上均单调递增,所以f(x)在R上单调递增.
原式等价于2x-3-x<2y-3-y,
即f(x)
因为|x-y|与1的大小关系不能确定,所以C,D不正确.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是( )
A.[2,4] B.(-∞,0)
C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
答案 D
解析 ∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],
∴1≤4x-3·2x+3≤7.
∴-1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
(2)当0
答案 (4,+∞)
解析 依题意,当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))时,y=ax与y=eq \f(1,x)有交点,作出y=eq \f(1,x)的图象,如图,
所以 SKIPIF 1 < 0 解得a>4.
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是________.
答案 (-∞,4]
解析 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2),+∞))上单调递增,在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(m,2)))上单调递减.而y=2t是增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有eq \f(m,2)≤2,
即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].
教师备选
1.(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B. SKIPIF 1 < 0
C.1.70.3>0.93.1 D. SKIPIF 1 < 0
答案 BCD
解析 ∵y=1.7x为增函数,∴1.72.5<1.73,故A不正确;
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x为减函数,
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
∵1.70.3>1,而0.93.1∈(0,1),
∴1.70.3>0.93.1,故C正确;
∵y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x为减函数,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又y= SKIPIF 1 < 0 在(0,+∞)上单调递增,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.
2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)=ex-eq \f(1,ex),若f(a-2)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是______.
答案 [-2,1]
解析 因为f(x)=ex-eq \f(1,ex),定义域为R,
f(-x)=e-x-eq \f(1,e-x)=eq \f(1,ex)-ex=-f(x),
所以f(x)=ex-eq \f(1,ex)为奇函数.
又因为f(x)=ex-eq \f(1,ex)在R上为增函数,
所以f(a-2)+f(a2)≤0⇒f(a-2)
≤-f(a2)⇒f(a-2)≤f(-a2),
即a-2≤-a2,a2+a-2≤0,
解得-2≤a≤1.
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练3 (1)设m,n∈R,则“m
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m-n>1,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m-n>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0,
∴m-n<0,∴m
(2)已知函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 ,若f(x)有最大值3,则a的值为________.
答案 1
解析 令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))g(x),
∵f(x)有最大值3,∴g(x)有最小值-1,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,\f(3a-4,a)=-1,))解得a=1.
课时精练
1.(2022·佛山模拟)已知a= SKIPIF 1 < 0 ,b= SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 ,则( )
A.cC.b答案 A
解析 因为a= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,b= SKIPIF 1 < 0 ,
所以a= SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 =b,
因为b= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,
c= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则b>c.
综上所述,a>b>c.
2.若函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则( )
A.a>1,b>1 B.a>1,0C.01 D.0答案 D
解析 根据图象,函数f(x)=ax-b是单调递减的,
所以指数函数的底数a∈(0,1),
根据图象的纵截距,令x=0,y=1-b∈(0,1),
解得b∈(0,1),
即a∈(0,1),b∈(0,1).
3.(2022·福建三明一中检测)函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍,则a的值是( )
A.eq \f(1,2)或eq \r(2) B.eq \f(1,2)或2
C.eq \f(1,2) D.2
答案 B
解析 当a>1时,函数单调递增,
f(x)max=2f(x)min,
∴f(2)=2f(1),
∴a2=2a,∴a=2;
当0f(x)max=2f(x)min,
∴f(1)=2f(2),∴a=2a2,∴a=eq \f(1,2),
综上所述,a=2或a=eq \f(1,2).
4.(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
解析 由R0=1+rT,R0=3.28,T=6,
得r=eq \f(R0-1,T)=eq \f(3.28-1,6)=0.38.
由题意,累计感染病例数增加1倍,
则I(t2)=2I(t1),
即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 =2,
即0.38(t2-t1)=ln 2,
所以t2-t1=eq \f(ln 2,0.38)≈eq \f(0.69,0.38)≈1.8.
5.(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数y=ax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
答案 ABD
解析 由图可得a1=2,即a=2,
y=a-x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减,且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,
在(-∞,0)上单调递增,故B正确;
y=a|x|=2|x|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x,x≥0,,2-x,x<0))为偶函数,
结合指数函数图象可知C错误;
y=|lgax|=|lg2x|,
根据“上不动、下翻上”可知D正确.
6.(多选)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( )
A.eq \f(1,3) B.2
C.3 D.eq \f(1,2)
答案 AC
解析 令ax=t,则y=a2x+2ax-1
=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,因为x∈[-1,1],
所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a),a)),
又函数y=(t+1)2-2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a),a))上单调递增,
所以ymax=(a+1)2-2=14,
解得a=3(负值舍去).
当0所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,\f(1,a))),
又函数y=(t+1)2-2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,\f(1,a)))上单调递增,
则ymax=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+1))2-2=14,
解得a=eq \f(1,3) (负值舍去).
综上知a=3或a=eq \f(1,3).
7.已知a>0,b>0,则 SKIPIF 1 < 0 =______.
答案 1
解析 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 =1.
8.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x,a≤x<0,,-x2+2x,0≤x≤4))的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是________.
答案 [-3,0)
解析 当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],
当a≤x<0时,f(x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a),-1)),
所以eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2a),-1))[-8,1],
即-8≤-eq \f(1,2a)<-1,即-3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[-3,0).
9.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b·a=6,,b·a3=24.))所以a2=4,
又a>0,所以a=2,b=3.
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,
则当x∈(-∞,1]时,
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x-m≥0恒成立,
即m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(-∞,1]上恒成立.
又因为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(-∞,1]上均单调递减,所以y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(-∞,1]上也单调递减,所以当x=1时,y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x有最小值eq \f(5,6),所以m≤eq \f(5,6),即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(5,6))).
10.已知定义域为R的函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,判断函数f(x)的单调性,若f(m2-2)+f(m)>0,求实数m的取值范围.
解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,
∴k=2,
经检验k=2符合题意,所以k=2.
(2)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),
∵f(1)<0,
∴a-eq \f(1,a)<0,又a>0,且a≠1,
∴0而y=ax在R上单调递减,y=a-x在R上单调递增,
故由单调性的性质可判断f(x)=ax-a-x在R上单调递减,
不等式f(m2-2)+f(m)>0
可化为f(m2-2)>f(-m),
∴m2-2<-m,即m2+m-2<0,
解得-2
11.已知0A. SKIPIF 1 < 0 >(1-a)b
B.(1-a)b> SKIPIF 1 < 0
C.(1+a)a>(1+b)b
D.(1-a)a>(1-b)b
答案 D
解析 因为0所以y=(1-a)x是减函数,又0所以eq \f(1,b)>b,b>eq \f(b,2),
所以 SKIPIF 1 < 0 <(1-a)b,(1-a)b< SKIPIF 1 < 0 ,
所以A,B均错误;
又1<1+a<1+b,
所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,
所以C错误;
因为0<1-b<1-a<1,
所以(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以D正确.
12.(多选)(2022·南京模拟)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.2
答案 AB
解析 ①当a>1时,由图象得0<2a<1,
∴0∵a>1,∴此种情况不存在;
②当0∴0∵013.(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也称取整函数,例如:[-3.7]=-4,[2.3]=2.已知f(x)=eq \f(ex-1,ex+1)-eq \f(1,2),则函数y=[f(x)]的值域为( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{-2,-1,0} D.{-1,0,1}
答案 C
解析 f(x)=eq \f(ex-1,ex+1)-eq \f(1,2)
=eq \f(ex+1-2,ex+1)-eq \f(1,2)
=-eq \f(2,ex+1)+eq \f(1,2),
∵ex>0,∴ex+1>1,
∴0
∴f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(1,2))),
∴[f(x)]为-2或-1或0.
14.(2022·宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),0))
解析 ∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,
∴存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),
∴ SKIPIF 1 < 0 +m-1=- SKIPIF 1 < 0 -m+1,
∴2m=- SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 +2,
构造函数y=- SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 +2,x0∈[-1,1],
令t= SKIPIF 1 < 0 ,t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3),3)),
y=-eq \f(1,t)-t+2=2-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t+\f(1,t)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3),1))上单调递增,
在(1,3]上单调递减,∴t=1取得最大值0,
t=eq \f(1,3)或t=3取得最小值-eq \f(4,3),y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),0)),
∴-eq \f(4,3)≤2m<0,
∴-eq \f(2,3)≤m<0.
15.(2022·重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增,且对∀x∈R,有f(f(x)-2x)=3,则f(lg43)=________.
答案 eq \r(3)+1
解析 根据题意,对∀x∈R,有f(f(x)-2x)=3,
又∵f(x)是定义在R上的增函数,
∴在R上存在常数a使得f(a)=3,
∴f(x)=2x+a,∴f(a)=2a+a=3,
解得a=1,
∴f(x)=2x+1,
∴f(lg43)= SKIPIF 1 < 0 +1=eq \r(3)+1.
16.(2022·上海模拟)已知函数f(x)=2x+a·2-x(a为常数,a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)当f(x)为偶函数时,若方程f(2x)-k·f(x)=3在x∈[0,1]上有实根,求实数k的取值范围.
解 (1)∵函数f(x)=2x+a·2-x的定义域为x∈R,
又∵f(-x)=2-x+a·2x,
∴①当f(-x)=f(x),
即2-x+a·2x=2x+a·2-x时,可得a=1,
即当a=1时,函数f(x)为偶函数;
②当f(-x)=-f(x),
即2-x+a·2x=-(2x+a·2-x)
=-2x-a·2-x时,
可得a=-1,
即当a=-1时,函数f(x)为奇函数.
(2)由(1)可得,当函数f(x)为偶函数时,a=1,
即f(x)=2x+2-x,
f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2,
由题可得,
(2x+2-x)2-2-k(2x+2-x)=3⇔(2x+2-x)2-k(2x+2-x)-5=0,
令t=2x+2-x,
则有t2-kt-5=0,
∵x∈[0,1],∴2x∈[1,2],
根据对勾函数的性质可知,2x+2-x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2))),
即t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2))),
方程t2-kt-5=0在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2)))上有实数根,
则k=eq \f(t2-5,t)=t-eq \f(5,t),
令φ(t)=t-eq \f(5,t),
∴φ(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2)))上单调递增,
且φ(2)=-eq \f(1,2),φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))=eq \f(1,2),
∴-eq \f(1,2)≤k≤eq \f(1,2),
∴实数k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2))).a>1
0图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,
0
当x>0时,
0
在(-∞,+∞)上是减函数
相关试卷
这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲练测第2章§2.7指数与指数函数(含解析),共13页。试卷主要包含了))等内容,欢迎下载使用。
这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第2章 第5讲 指数与指数函数 (含解析),共16页。试卷主要包含了根式,有理数指数幂,指数函数的图象及性质等内容,欢迎下载使用。
这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第8章§8.7《双曲线》(含详解),共22页。