(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.2《同角三角函数基本关系式及诱导公式》(含详解)

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知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cs α＝－eq \f(1,3).( √ )
教材改编题
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，则cs α的值为 ．
答案 －eq \f(2\r(5),5)
解析 ∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
2．已知eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，那么tan α的值为 ．
答案 －eq \f(23,16)
解析 由eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，知cs α≠0，等式左边分子、分母同时除以cs α，
可得eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，解得tan α＝－eq \f(23,16).
3．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为 ．
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α
＝－sin2α.
题型一 同角三角函数基本关系
例1 (1)已知cs α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .
答案 0
解析 ∵cs α＝－eq \f(5,13)<0且cs α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq \f(12,5).
此时13sin α＋5tan α＝13×eq \f(12,13)＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)))＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)
＝－eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq \f(12,5)，
此时，13sin α＋5tan α＝13×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋5×eq \f(12,5)＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sin αcs α＋2＝ .
答案 －eq \f(5,3) eq \f(13,5)
解析 已知tan α＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
sin2α＋sin αcs α＋2
＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2
＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq \f(13,5).
(3)已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案 －eq \f(12,5)
解析 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin θ－cs θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)，))
所以tan θ＝－eq \f(12,5).
教师备选
1．(2022·锦州联考)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α等于( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C．－3 D．3
答案 A
解析 由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，
可得tan α＝2，
则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝cs2α＋sin αcs α
＝eq \f(cs2α＋sin αcs α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)
＝eq \f(3,5).
2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，则sin α－cs α的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
答案 C
解析 由诱导公式得
sin(π－α)＋cs α＝sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，
所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(2,9)，
则2sin αcs α＝－eq \f(7,9)<0，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以cs α<0，所以sin α－cs α>0，
因为(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(16,9)，
所以sin α－cs α＝eq \f(4,3).
思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)等于( )
A．－eq \f(6,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5)
答案 C
解析 方法一 因为tan θ＝－2，
所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(2,\r(5))，,cs θ＝－\f(1,\r(5))))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(2,\r(5))，,cs θ＝\f(1,\r(5))，))
所以eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)
＝sin2θ＋sin θcs θ
＝eq \f(4,5)－eq \f(2,5)＝eq \f(2,5).
方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)
＝eq \f(sin θsin θ＋cs θ2,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)
＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(tan2θ＋tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(4－2,1＋4)＝eq \f(2,5).
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为 ．
答案 －eq \f(\r(10),5)
解析 由tan α＝－eq \f(1,3)，得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,10)，易知cs α<0，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
题型二 诱导公式
例2 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 D
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ .
答案 eq \f(3,4)
解析 ∵θ是第二象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
∴θ＋eq \f(π,4)为第二象限角，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))
＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))),cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))))
＝eq \f(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))
＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),\f(4,5))＝eq \f(3,4).
(2)eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－α－πsin－π－α)的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 原式＝eq \f(－tan α·cs α·－cs α,csπ＋α·[－sinπ＋α])
＝eq \f(tan α·cs2α,－cs α·sin α)
＝－eq \f(sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝－1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
答案 B
解析 易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，
故tan α＝eq \f(3,2)，则
eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)
＝eq \f(－sin αcs α＋2sin αcs α,－sin αsin α)
＝－eq \f(cs α,sin α)
＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(2,3).
2．若sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则cs x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))等于( )
A.eq \f(3,10) B．－eq \f(3,10)
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
答案 A
解析 易知sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－3cs x，
所以tan x＝－3，
所以cs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
＝－sin xcs x＝eq \f(－sin xcs x,sin2x＋cs2x)
＝eq \f(－tan x,tan2x＋1)＝eq \f(3,10).
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式),\s\d5(三或一))任意正角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式一))0～2π内的角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式二),\s\d5(或四或五或六))锐角三角函数．
跟踪训练2 (1)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
答案 0
解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cs(105°－α)＝cs[180°－(75°＋α)]
＝－cs(75°＋α)＝－eq \f(1,3)，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cs(75°＋α)＝eq \f(1,3).
所以cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝0.
(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则eq \f(sin－3π＋α＋csα－π,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝ .
答案 3
解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，
eq \f(sin－3π＋α＋csα－π,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))
＝eq \f(sinπ＋α＋csπ－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)
＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值；
(3)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α)
＝eq \f(－sin α×cs α×－cs α,－cs α×sin α)
＝－cs α.
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，
则f(α)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
(3)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，
可得sin α＝－eq \f(1,5)，
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以cs α＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
教师备选
设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)．
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－eq \f(23π,6)，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝eq \f(－2sin α·－cs α－－cs α,1＋sin2α＋sin α－cs2α)
＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)
＝eq \f(cs α2sin α＋1,sin α2sin α＋1)
＝eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,tan α).
(2)当α＝－eq \f(23π,6)时，
f(α)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6))))
＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6))))
＝eq \f(1,tan \f(π,6))
＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3).
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．
(2)已知－π答案 －eq \f(24,175)
解析 由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25)，
由－π又sin xcs x＝－eq \f(12,25)<0，
∴cs x>0，∴sin x－cs x<0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
∴eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin xcs x＋sin x,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs xcs x＋sin x,cs x－sin x)
＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
课时精练
1．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))＝cs eq \f(19π,3)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,3)))＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
2．若cs 165°＝a，则tan 195°等于( )
A.eq \r(1－a2) B.eq \f(\r(1－a2),a)
C．－eq \f(\r(1－a2),a) D．－eq \f(a,\r(1－a2))
答案 C
解析 若cs 165°＝a，
则cs 15°＝cs(180°－165°)
＝－cs 165°＝－a，
sin 15°＝eq \r(1－a2)，
所以tan 195°＝tan(180°＋15°)
＝tan 15°＝eq \f(sin 15°,cs 15°)
＝－eq \f(\r(1－a2),a).
3．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))＝eq \f(5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,10)－α))等于( )
A．－eq \f(5,13) B．－eq \f(12,13)
C.eq \f(12,13) D.eq \f(5,13)
答案 D
解析 因为eq \f(7π,10)－α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))＝eq \f(π,2)，
所以eq \f(7π,10)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,10)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))＝eq \f(5,13).
4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cs α＝－eq \r(2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 由已知得1＋2sin αcs α＝2，
∴sin αcs α＝eq \f(1,2)，
∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)
＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
答案 ABC
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2)，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，
C正确．
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D错误．
6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则( )
A.eq \f(π,2)<α<π
B．sin αcs α＝－eq \f(12,25)
C．cs α－sin α＝eq \f(7,5)
D．cs α－sin α＝－eq \f(7,5)
答案 ABD
解析 ∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
等式两边平方得
(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
解得sin αcs α＝－eq \f(12,25)，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcs α＝－eq \f(12,25)<0，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故A正确；
cs α－sin α<0，
且(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,25)))＝eq \f(49,25)，
解得cs α－sin α＝－eq \f(7,5)，故D正确．
7．cs 1°＋cs 2°＋cs 3°＋…＋cs 177°＋cs 178°＋cs 179°＝ .
答案 0
解析 因为cs(180°－α)＝－cs α，于是得
cs 1°＋cs 2°＋cs 3°＋…＋cs 89°＋cs 90°＋cs 91°＋…＋cs 177°＋cs 178°＋cs 179°
＝cs 1°＋cs 2°＋cs 3°＋…＋cs 89°＋cs 90°－cs 89°－…－cs 3°－cs 2°－cs 1°
＝cs 90°＝0.
8．设f(θ)＝eq \f(2cs2θ＋sin22π－θ＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－3,2＋2cs2π＋θ＋cs－θ)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,3)))＝ .
答案 －eq \f(5,12)
解析 ∵f(θ)＝eq \f(2cs2θ＋sin2θ＋cs θ－3,2＋2cs2θ＋cs θ)
＝eq \f(cs2θ＋cs θ－2,2cs2θ＋cs θ＋2)，
又cs eq \f(17π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,3)))
＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,3)))＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2)－2,\f(1,2)＋\f(1,2)＋2)＝－eq \f(5,12).
9．(1)已知cs α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值；
(2)已知sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(0解 (1)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－eq \f(2,3)，
又α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(2,3)，
所以sin α＝－eq \f(\r(5),3)，tan α＝eq \f(\r(5),2).
所以原式＝eq \f(－cs αsin αtan2α,－sin αcs α)＝tan2α＝eq \f(5,4).
(2)∵sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(0∴cs x<0，sin x>0，即sin x－cs x>0，
把sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)，
两边平方得1＋2sin xcs x＝eq \f(49,169)，
即2sin xcs x＝－eq \f(120,169)，
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(289,169)，
即sin x－cs x＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x＝－\f(7,13)，,sin x－cs x＝\f(17,13)，))
解得sin x＝eq \f(5,13)，cs x＝－eq \f(12,13)，
∴cs x－2sin x＝－eq \f(22,13).
10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．
(1)求eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
解 (1)∵m≠0，∴cs α≠0，
即eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－sin α－cs α,cs α＋2sin α)
＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α).
又∵角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，
∴tan α＝eq \f(－6m,3m)＝－2，
故eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α)
＝eq \f(2－1,1＋2×－2)＝－eq \f(1,3).
(2)∵α是第二象限角，∴m<0，
则sin α＝eq \f(－6m,\r(3m2＋－6m2))
＝eq \f(－6m,3\r(5)|m|)
＝eq \f(2\r(5),5)，
cs α＝eq \f(3m,\r(3m2＋－6m2))
＝eq \f(3m,3\r(5)|m|)
＝－eq \f(\r(5),5)，
∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))
＝cs2α＋sin αcs α＋sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))2＋eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(2\r(5),5)
＝eq \f(－1＋2\r(5),5).
11．(多选)已知角α满足sin α·cs α≠0，则表达式eq \f(sinα＋kπ,sin α)＋eq \f(csα＋kπ,cs α)(k∈Z)的取值可能为( )
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
答案 AC
解析 当k为奇数时，原式＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝1＋1＝2.
∴原表达式的取值可能为－2或2.
12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
答案 B
解析 方程5x2－7x－6＝0的两根为
x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，则sin α＝－eq \f(3,5).
原式＝eq \f(cs α－cs αtan2α,sin α－sin α－sin α)＝－eq \f(1,sin α)＝eq \f(5,3).
13．曲线y＝ex＋x2－eq \f(2,3)x在x＝0处的切线的倾斜角为α，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝ .
答案 eq \f(4,5)
解析 由题意得y′＝f′(x)＝ex＋2x－eq \f(2,3)，
所以f′(0)＝e0－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
所以tan α＝eq \f(1,3)，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(3,\r(10))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))
＝cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \f(9,10)－1＝eq \f(4,5).
14．函数y＝lga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点Q，且角α的终边也过点Q，则3sin2α＋2sin αcs α＝ .
答案 eq \f(7,5)
解析 由题意可知点Q(4,2)，所以tan α＝eq \f(1,2)，
所以3sin2α＋2sin αcs α
＝eq \f(3sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(3tan2α＋2tan α,1＋tan2α)
＝eq \f(3×\f(1,4)＋2×\f(1,2),1＋\f(1,4))
＝eq \f(7,5).
15．(多选)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤\f(π,2)))，则下列说法正确的是( )
A．f(α)的最小值为－eq \r(2)
B．f(α)的最小值为－1
C．f(α)的最大值为eq \r(2)－1
D．f(α)的最大值为1－eq \r(2)
答案 BD
解析 设t＝sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
由0≤α≤eq \f(π,2)，
得eq \f(π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，
则1≤t≤eq \r(2)，
又由(sin α＋cs α)2＝t2，
得2sin αcs α＝t2－1，
所以f(α)＝g(t)＝eq \f(t2－1－2,t＋1)＝t－1－eq \f(2,t＋1)，
又因为函数y＝t－1和y＝－eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上单调递增，
所以g(t)＝t－1－eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上单调递增，
g(t)min＝g(1)＝－1，
g(t)max＝g(eq \r(2))＝1－eq \r(2).
16．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解 (1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)
＝sin θ＋cs θ.
由已知得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
所以eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知得sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
因为1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，
所以1＋m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))2，
解得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
因为θ∈(0,2π)，所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6).公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限