(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.3《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.3《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)，共20页。试卷主要包含了会推导两角差的余弦公式，eq \ftan 10°)等于等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).( × )
教材改编题
1．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10)
C．－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
2．计算：sin 108°cs 42°－cs 72°sin 42°＝ .
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝sin(180°－72°)cs 42°－cs 72°sin 42°
＝sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°
＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝eq \f(1,2).
3．若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
答案 eq \f(1,7)
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)(2022·包头模拟)已知cs α＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝1，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 ∵cs α＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝1，
∴cs α＋eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(3,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))
＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝1，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)化简：①sin x＋eq \r(3)cs x＝ .
答案 2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
解析 sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
②eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝ .
答案 eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－x))
解析 原式＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x＋\f(π,3)))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－x)).
教师备选
1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，
∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小值为( )
A.eq \r(2) B．－2
C．－eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 C
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
＝sin 2xcs eq \f(π,4)＋cs 2xsin eq \f(π,4)＋sin 2xcs eq \f(π,4)－cs 2xsin eq \f(π,4)＝eq \r(2)sin 2x.
∴y的最小值为－eq \r(2).
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)cs α，tan β＝eq \f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α＝eq \r(3)cs α，所以－sin α＝eq \r(3)cs α，故tan α＝－eq \r(3)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋\r(3)×\f(\r(3),3))
＝eq \f(－\f(2\r(3),3),2)＝－eq \f(\r(3),3).
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2)
B．cs(β－α)＝eq \f(1,3)
C．β－α＝－eq \f(π,3)
D．β－α＝eq \f(π,3)
答案 AD
解析 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cs γ＝cs α－cs β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2
＝2－2(sin βsin α＋cs βcs α)，
∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，即选项A正确，B错误；
∵γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，而α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴0<β－α∴β－α＝eq \f(π,3)，
即选项D正确，C错误．
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
答案 B
解析 ∵C＝120°，∴tan C＝－eq \r(3).
∵A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝－tan C.
∴tan(A＋B)＝eq \r(3)，
tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan Atan B)，
又∵tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，
∴tan Atan B＝eq \f(1,3).
延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于( )
A．45° B．135°
C．150° D．30°
答案 A
解析 在△ABC中，
因为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
所以tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1＝－tan C，
所以tan C＝1，所以C＝45°.
教师备选
1．若α＋β＝－eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
答案 2
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
2．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵sin α＋cs β＝1，①
cs α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得
1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
∴sin αcs β＋cs αsin β＝－eq \f(1,2)，
∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案 D
解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°
＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°
＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)
＝cs 77°＝sin 13°，
b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)
＝eq \f(\r(2),2)sin 56°－eq \f(\r(2),2)cs 56°
＝sin(56°－45°)
＝sin 11°，
c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)
＝eq \f(1－\f(sin239°,cs239°),1＋\f(sin239°,cs239°))
＝cs239°－sin239°
＝cs 78°＝sin 12°.
因为函数y＝sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，
所以a>c>b.
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案 4
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))＝eq \f(5,13)，则sin(α－β)的值为( )
A.eq \f(16,65) B.eq \f(33,65)
C.eq \f(56,65) D.eq \f(63,65)
答案 A
解析 由题意可得α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
β－eq \f(5π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))＝－eq \f(12,13)，
所以sin(α－β)＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))))
＝－eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))
＝eq \f(16,65).
(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
答案 －1 eq \f(1,2)
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，
tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)
＝eq \f(tanα＋2β－tan β,1＋tanα＋2βtan β)
＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)
＝－1.
tan α＝tan(α＋β－β)
＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).
教师备选
(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)
＝－eq \f(2,11).
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
跟踪训练3 (1)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝ .
答案 eq \f(π,4)
解析 因为α，β均为锐角，
所以－eq \f(π,2)<α－β又sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，
所以cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
又sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
所以β＝eq \f(π,4).
(2)已知0<α答案 eq \f(4,5) －eq \f(\r(2),2)
解析 因为0<α所以sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，
由0<α则0<β－α<π，
又因为cs(β－α)＝eq \f(\r(2),10)，
则sin(β－α)＝eq \f(7\r(2),10)，
所以cs β＝cs[(β－α)＋α]
＝cs(β－α)cs α－sin(β－α)sin α
＝eq \f(\r(2),10)×eq \f(3,5)－eq \f(7\r(2),10)×eq \f(4,5)＝－eq \f(\r(2),2).
课时精练
1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )
A．2－eq \r(3) B．－2－eq \r(3)
C.eq \r(3)－2 D．－eq \r(3)
答案 B
解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)
＝eq \f(tan 60°＋tan 45°,1－tan 60°·tan 45°)
＝eq \f(\r(3)＋1,1－\r(3))
＝eq \f(\r(3)＋12,1－\r(3)1＋\r(3))
＝eq \f(4＋2\r(3),－2)＝－2－eq \r(3).
2．已知点P(x，2eq \r(2))是角α终边上一点，且cs α＝－eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))等于( )
A．－eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) B.eq \f(\r(3)＋2\r(2),6)
C.eq \f(\r(3)－2\r(2),6) D.eq \f(2\r(2)－\r(3),6)
答案 A
解析 因为点P(x，2eq \r(2))是角α终边上一点，
则有cs α＝eq \f(x,\r(x2＋2\r(2)2))＝eq \f(x,\r(x2＋8))，
而cs α＝－eq \f(1,3)，
于是得eq \f(x,\r(x2＋8))＝－eq \f(1,3)，解得x＝－1，
则sin α＝eq \f(2\r(2),\r(x2＋8))＝eq \f(2\r(2),3)，
因此，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cs eq \f(π,6)cs α－sin eq \f(π,6)sin α
＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－eq \f(1,2)×eq \f(2\r(2),3)
＝－eq \f(\r(3)＋2\r(2),6)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－eq \f(\r(3)＋2\r(2),6).
3.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)等于( )
A．1 B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)
＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)
＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))
＝eq \f(sin 20°,4sin30°－10°)
＝eq \f(1,4).
4．已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
答案 C
解析 由sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，
且α，β为锐角，
可知cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
故cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)
＝eq \f(\r(2),2)，
又0<α＋β<π，故α＋β＝eq \f(π,4).
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs(－15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°－105°)＝0
C．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝eq \f(1,2)
答案 BCD
解析 对于A，方法一 原式＝cs(30°－45°)＝cs 30°·cs 45°＋sin 30°sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
方法二 原式＝cs 15°＝cs(45°－30°)
＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，A错误．
对于B，原式＝cs(15°－105°)＝cs(－90°)＝cs 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，C正确．
对于D，原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs(76°－16°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，D正确．
6．(多选)已知cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝－eq \f(5,13)，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )
A．sin 2α＝eq \f(12,13) B．cs(α－β)＝eq \f(19\r(5),65)
C．cs αcs β＝eq \f(8\r(5),65) D．tan αtan β＝eq \f(11,8)
答案 AC
解析 因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
cs 2α＝－eq \f(5,13)，其中α，β为锐角，
所以sin 2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(12,13)，故A正确；
因为sin(α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
所以cs(α－β)＝cs [2α－(α＋β)]
＝cs 2αcs(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(12,13)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(29\r(5),65)，
故B错误；
cs αcs β＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)＋\f(29\r(5),65)))＝eq \f(8\r(5),65)，
故C正确；
sin αsin β＝eq \f(1,2)[cs(α－β)－cs(α＋β)]
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(29\r(5),65)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))))＝eq \f(21\r(5),65)，
所以tan αtan β＝eq \f(21,8)，故D错误．
7．化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
8．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(56,65)
解析 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，
所以eq \f(3π,2)<α＋β<2π，
eq \f(π,2)<β－eq \f(π,4)因为sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，
所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(5,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(12,13)
＝－eq \f(56,65).
9．已知0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，求cs(α＋β)的值．
解 ∵0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，
∴－eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)－β＜eq \f(π,2)，
eq \f(π,4)＜α－eq \f(β,2)＜π，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \f(\r(5),3)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \f(4\r(5),9)，
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)
＝eq \f(7\r(5),27)，
∴cs(α＋β)＝2cs2eq \f(α＋β,2)－1＝2×eq \f(49×5,729)－1＝－eq \f(239,729).
10．已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
解 (1)∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).
又∵tan(α－β)＝－eq \f(1,3)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
∵α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，∴cs α＝eq \f(4,5).
∴cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs(π－α)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于( )
A．－3 B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3) D．3
答案 C
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs(π－α)得
sin α＝－2cs α，即tan α＝－2，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(tan \f(π,4)＋tan α,1－tan \f(π,4)tan α)
＝eq \f(1－2,1－1×－2)＝－eq \f(1,3).
12．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cs(α－β)cs(γ－β)＝－cs(α－γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
答案 AD
解析 对于A，左边＝－[cs(α－β)cs(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]
＝－cs[(α－β)＋(β－γ)]＝－cs(α－γ)，
故A正确；
对于B，
3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))
＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，故B错误；
对于C，f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，
所以f(x)的最大值为eq \r(2)，故C错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°
＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．
13．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝ .
答案 －eq \f(3π,4)
解析 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＋tan β＝－3a，,tan α·tan β＝3a＋1，))
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)
＝eq \f(－3a,1－3a＋1)＝1.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＋tan β<0，,tan α·tan β>0，))
所以tan α<0且tan β<0，
所以－eq \f(π,2)<α<0且－eq \f(π,2)<β<0，
即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－eq \f(3π,4).
14．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．
答案 [－1，1]
解析 由sin αcs β－cs αsin β＝1，
得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，
∴－π≤α－β≤π，
∴α－β＝eq \f(π,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))
即eq \f(π,2)≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)
＝cs α＋sin α
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
∵eq \f(π,2)≤α≤π，
∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
∴－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．
15．(2022·河北五校联考)已知x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,8)
答案 B
解析 由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得
sin xcs y＋cs xsin y
＝2sin xcs y－2cs xsin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan(x－y)＝eq \f(tan x－tan y,1＋tan xtan y)
＝eq \f(2tan y,1＋3tan2y)＝eq \f(2,\f(1,tan y)＋3tan y)≤eq \f(\r(3),3)，
当且仅当tan y＝eq \f(\r(3),3)时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
又x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则x－y的最大值为eq \f(π,6).
16.如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解 (1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝eq \f(1,2)|OA|·|OM|sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，
又α为锐角，所以cs α＝eq \f(\r(5),5).
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，
所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，
cs(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，
因为α为锐角，
sin α＝eq \f(2\r(5),5)>eq \f(\r(2),2)，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).