(新高考)高考数学一轮复习讲与练第8章§8.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第8章§8.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详解)，共20页。试卷主要包含了圆与圆的位置关系，直线被圆截得的弦长等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
教材改编题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心D．相离
答案 B
解析 圆心为(0,0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，而0eq \r(3)＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误．
6．(多选)(2022·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)
答案 ABD
解析 对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)，D正确．
7．(2021·天津)若斜率为eq \r(3)的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.
答案 eq \r(3)
解析 设直线AB的方程为y＝eq \r(3)x＋b，
则点A(0，b)，
由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
则eq \f(|b－1|,2)＝1，
解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，
因为|BC|＝1，故|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(3).
8．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
答案 8
解析 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，
半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．
解 (1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，
则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，
其圆心为(0,4)，半径r＝2，
若直线l与圆C相切，则有eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝2，
解得a＝－eq \f(3,4).
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，
即2＋d2＝4，解得d＝eq \r(2)，
则有d＝eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq \r(2)，
解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，
S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，故△POM的面积为eq \f(16,5).
11．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)
C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3)
答案 A
解析 到原点的距离为eq \r(2)的点的轨迹方程为
圆C1：x2＋y2＝2，
因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，
转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为
C1(0,0)，r1＝eq \r(2)，C(a，a)，r＝2eq \r(2)，
∴r－r1