(新高考)高考数学一轮复习课时练习2.1《相等关系与不等关系》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习2.1《相等关系与不等关系》(含解析)，共14页。试卷主要包含了实数大小与运算性质之间的关系，等式的性质，不等式的性质，下列命题中，不正确的是等内容，欢迎下载使用。


第1讲　相等关系与不等关系
最新考纲
考向预测
1．通过具体情境，感受生活中大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
命题
趋势
以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题.
核心
素养
逻辑推理


1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a 2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；
a>b，c<0⇒ac a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)a<0 (3)a>b>0，d>c>0⇒>.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0)．
常见误区
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)
(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B　　　　　　　　 B．A≥B
C．AB
解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
3．(易错题)若a>b>0，c A.－>0 B.－<0
C.> D.<
解析：选D.因为c 又0 所以－bd<－ac，即bd>ac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．已知1 解析：因为1 又因为<<，
所以<<＝2，即<<2.
答案：


　　　　　　比较两个数(式)的大小
[题组练透]
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．p C．p>q D．p≥q
解析：选B.(作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，
所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p 综上，p≤q.故选B.
2．已知a>b>0，m>0，则(　　)
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
解析：选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，
所以<0.
即－<0.
所以<.
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.

比较两个数(式)大小的方法

[注意]　(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．　

　　　　　　不等式的性质
(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
【解析】　(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；
B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；
C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；
D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．
综上所述，故选C.
(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，因为c<0，所以>，所以C命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.
【答案】　(1)C　(2)BCD

不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．　

1．(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2<－ab　　　　　　　 B．|a|<|b|
C.> D.>
解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.
2．已知a A．a2 C．ba 解析：选D.因为a0，b的符号不确定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．

　　　　　　不等式性质的应用
已知－1 【解析】　因为－1 所以－3<－y<－2，
所以－4 由－1 4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
【答案】　(－4，2)　(1，18)
【引申探究】
1．(变条件)若将本例条件改为“－1 解：因为－1 所以－3<－y<1，所以－4 又因为x＜y，所以x－y<0，
所以－4 故x－y的取值范围为(－4，0)．
2．(变问法)若本例的条件不变，求2x－3y的取值范围．
解：因为－1 所以－2<2x<8，－9<－3y<－6.
即－11<2x－3y<2.
故2x－3y的取值范围为(－11，2)

利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1 (1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．　

1．若6 A．[9，18] B．(15，30)
C．[9，30] D．(9，30)
解析：选D.因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6 2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)

高考新声音系列1　高考中的开放性试题
(2020·高考北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
【解析】　易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.
【答案】　(答案不唯一)

此类题目在近两年北京卷试题中都有出现，条件开放，有助于学生多角度思维发挥，提升学生的逻辑思维能力．　

1．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为________．
解析：由a－b＝ab，得－＝1，
又a，b为正数，
所以有序数对可以为，，，等都符合题意．
答案：(答案不唯一)
2．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________．
解析：因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2cc不一定正确．
答案：－1，－2，－3(答案不唯一)

[A级　基础练]
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)
A．f(x)＝g(x)　　　　　　 B．f(x)>g(x)
C．f(x) 解析：选B.f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0⇒f(x)>g(x)．
2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A.因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．若a，b∈R，且a>|b|，则(　　)
A．a<－b B．a>b
C．a2
解析：选B.由a>|b|可知，当b≥0时，a>b；当b<0时，a>－b，则a>0>b.综上可知，当a>|b|时，a>b恒成立，故选B.
4．已知a，b，c满足c A．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb20
解析：选A.由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立．
5．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为c>d，所以c－d>0.
又a>b，所以两边同时乘(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.
若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，
也可能a 所以“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
6．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有(　　)
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
解析：选AD.因为a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；因为a>b，c>0，所以ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.
7．(多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<<0，则|a|＋b<0
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选ABD.取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．
8．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a－c
C.> D．ac2 解析：选ABC.因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a－c.因为－＝>0，所以>.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选ABC.
9．若a1 解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，
因为a1 所以(a1－a2)(b1－b2)>0，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
10．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3.
答案：(－3，3)
11．设a>b，有下列不等式：①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填序号)
解析：对于①，>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
12．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1 综上可得b<－1.
答案：(－∞，－1)
[B级　综合练]
13．已知2 ①1 A．①③④ B．②④
C．①② D．①③
解析：选D.因为a＝(a＋b)＋(a－b)，且2 14．(多选)(2021·浙江温州七校期中测试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．若ab≠0且a
B．若0 C．若a>b>0，则>
D．若c 解析：选BC.对于A项，取a＝－2，b＝1，则>不成立，故A项错误．对于B项，若0b>0，则a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b>0，所以a(b＋1)>b(a＋1)，所以>，故C项正确．对于D项，若c0，c<0.而b可能为0，因此cb2 [C级　创新练]
15．设a，b∈R，定义运算“”和“”如下：ab＝ab＝若mn≥2，pq≤2，则(　　)
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
解析：选A.结合定义及mn≥2可得或即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；结合定义及pq≤2，可得或即q 16．(开放题)给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)
解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，
因为a>b>0，所以2(－)>0，
所以()2－(－)2>0，即>－.
答案：a>b>0(答案不唯一)