(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.3.2《简单的三角恒等变换》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.3.2《简单的三角恒等变换》(含解析)，共15页。试卷主要包含了eq \f·eq \f等于，5°cs 67，5°,1－tan222等内容，欢迎下载使用。
第2课时　简单的三角恒等变换


　　　　　　三角函数式的化简
化简：(1)－2cos(α＋β)；
(2)·.
【解】　(1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.

三角函数式的化简要遵循“三看”原则
　

1.·等于(　　)
A．－sin α　　　　　　　　 B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D.原式＝
＝＝cos α.
2．(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
解：方法一(从“角”入手，化复角为单角)：
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二(从“名”入手，化异名为同名)：
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β＝.

　　　　　　三角函数式的求值
角度一　给角求值
计算＝________．
【解析】　
＝
＝＝
＝＝2.
【答案】　2

给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．
[基本思路]　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
　
角度二　给值求值
(1)(2020·重庆巴蜀中学高考适应性月考)已知sin α＋cos α＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【解析】　(1)由sin α＋cos α＝，
得2cos＝，
即cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选C.
(2)由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝－，故选A.
【答案】　(1)C　(2)A

给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．　
角度三　给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________．
【解析】　方法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.
因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
方法二：同方法一得，cos β＝，sin α＝.
因为α，β为锐角，所以α－β∈.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，
故cos(α－β)＝＝＝.
又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.
所以2α－β＝.
【答案】　

给值求角的原则
已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．　

1．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.
2．(2020·江西省分宜中学、玉山一中等九校4月模拟)已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．70°
C．20° D．10°
解析：选B.由题意可知sin 40°＞0，1＋cos 40°＞0，OP的斜率tan α＝＝＝tan 70°，由α为锐角，可知α为70°.故选B.
3．已知tan＝，且－＜α＜0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选A.因为tan＝＝，所以tan α＝－，
因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，α∈，
所以sin α＝－.
所以＝
＝＝2sin α＝2×
＝－.故选A.

[A级　基础练]
1．(多选)下列各式的值等于的是(　　)
A．2sin 67.5°cos 67.5° B．2cos2－1
C．1－2sin215° D．
解析：选BC.选项A，2sin 67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝.选项B，2cos2－1＝cos ＝.选项C，1－2sin215°＝cos 30°＝.选项D，＝tan 45°＝1.故选BC.
2．计算：＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.
4．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.由题意知＝sin 2θ，
所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)．
5．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则＝(　　)
A． B．2
C．4 D．1
解析：选D.因为α的终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，所以tan α＝－2.由三角形内角和定理得α＋2θ＝π，所以tan 2θ＝tan(π－α)＝－tan α＝2，即＝2，整理得tan θ＋tan2θ＝1，所以＝＝tan θ＋tan2θ＝1.故选D.
6．(2020·全国统一考试模拟卷)已知cos－sin α＝，则sin＝________．
解析：由cos－sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝＝cos＝sin＝，得sin＝.sin＝－sin＝－sin＝－.
答案：－
7．化简：·＝________．
解析：原式＝·＝·＝－4tan(45°＋15°)＝－4.
答案：－4
8．已知α，β为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝________．
解析：因为(1－tan α)(1－tan β)＝4，
所以1－(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
即－(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β，
则tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，
则tan(α＋β)＝＝＝－.
因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，则α＋β＝.
答案：
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以