(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.5《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.5《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用》(含解析)，共24页。试卷主要包含了y＝Asin的有关概念等内容，欢迎下载使用。

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及
三角函数模型的简单应用
最新考纲
考向预测
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会利用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
命题趋势
y＝Asin(ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.
核心素养
直观想象、数学建模


1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)

常用结论
(1)对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
(2)相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
解析：选D.因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．
3．(易错题)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度　B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选A.因为y＝sin＝sin，
所以要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度．
4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________．
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.
答案：2sin
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．

解析：设f(x)的最小正周期为T，
根据题图可知，＝，
所以T＝π，故ω＝2，
根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，故φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
答案：2sin


　　　　　　五点法作图及图象变换
已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下．

【引申探究】
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
解析：f(x)的图象向左平移个单位长度后得
y＝2sin＝2sin的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得
g(x)＝2sin的图象，
即g(x)＝2sin.
答案：2sin
2．(变问法)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．
解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．
答案：

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变
换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．　

1．函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数是偶函数，则φ的最小正值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.函数y＝sin向左平移φ个单位长度可得y＝sin，
因为y＝sin是偶函数，
所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，
由k＝0可得φ的最小正值是.
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
B.为f(x)图象的一个对称中心
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
解析：选BCD.①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到f(x)＝sin的图象；②将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再将其图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin的图象．故选项A不正确．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝π－(k∈Z)，令k＝1，则可知选项B正确；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝－1，则可知选项C正确．又g(x)＝sin＝sin＝f，所以f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象，故选项D正确，故选BCD.

　　　　　　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)

A．sin B．sin
C．cos D．cos
【解析】　由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，所以2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin[π－(2x＋)]＝sin，故选项B正确；y＝sin(－2x)＝cos ＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin(－2×＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin，但当x＝0时，y＝sin(－2x＋)＝－＜0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
【答案】　BC

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．　

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________．
解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
答案：2sin
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．

解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
答案：－

　　　　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
角度一　三角函数模型的应用
如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
【解析】　以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，
12秒旋转一周，设∠OO1P＝θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T＝12，所以θ＝·2π＝t，
f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40时，f(t)＝3－2cos＝4(米)．
【答案】　4

三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；
(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．　
角度二　方程根(函数零点)问题
函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
【解】　函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，转化为m＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，在x∈上有两个不同的实数根．
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sin t，在t∈上有两个不同的实数根．
所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
【答案】　(－2，－1)

三角函数的零点(方程根)个数问题可转化为两个函数图象的交点问题．　
角度三　三角函数图象与性质的综合问题
(多选)将函数f(x)＝2sin－1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
【解析】　依题意得g(x)＝2sin－1＝2sin－1，函数g(x)的最小正周期T＝＝π，因此选项A正确；当x＝－时，函数y＝sin没有取得最值，因此函数g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故选项B不正确；当x∈时，2x＋∈⊆，此时函数g(x)单调递减，故选项C正确；当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此此时函数g(x)没有最大值，选项D不正确．故选AC.
【答案】　AC

先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　
(多选)已知函数f(x)＝sin，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)＝是x＝的充分不必要条件
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)
解析：选AD.对于A，由最小正周期T＝＝π知A正确；
对于B，由f(x)＝得2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，可知f(x)＝是x＝的必要不充分条件，B不正确；
对于C，由 对于D，y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度得y＝＝|sin 2x|的图象，由y＝|sin x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)得y＝|sin 2x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)，D正确．故选AD.


[A级　基础练]
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．
C．1 D．
解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
3．(2020·高考天津卷)已知函数f(x)＝sin(x＋)．给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f()是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选B.f(x)＝sin(x＋)的最小正周期为2π，①正确；sin＝1＝f()为f(x)的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f(x)＝sin(x＋)的图象，③正确．故选B.
4．(多选)(2020·山东百师联盟测试)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x－，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的值域为[－1，1]
B．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到
C．函数f(x)在上单调递减
D．点是函数f(x)的一个对称中心
解析：选AD.f(x)＝sin xcos x＋(2sin2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，易知A，D均正确，对于B选项，y＝sin 2x的图象应向右平移个单位，得到f(x)的图象，因此B选项不正确；
对于C选项，当－≤x≤时，－≤2x－≤，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此C选项不正确．
5．(多选)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)

A．y＝g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)
C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)
D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
解析：选AD.依题意可得A＝2，＝＋＝，故T＝π，T＝＝π，解得ω＝2.f＝2sin[2×＋φ]＝2sin＝0，因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝2sin.将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x的图象，函数g(x)＝2sin 2x是奇函数，故A对；函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)，故B不对；函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)，故C不对；函数g(x)＝2sin 2x的单调递减区间为(k∈Z)，故D对．选AD.
6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
解析：y＝sin xy＝
siny＝sin.
答案：y＝sin
7．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝，
答案：
8．若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时，∃x0∈，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又φ>0，所以当φ取最小值时，φ＝，f(x)＝2sin.因为x0∈，所以2x0＋∈，所以－ 答案：(－，2]
9．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g＝，求h(α)的值．
解：(1)由已知可得g(x)＝sin，
则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由g＝得sin＝
sin＝，
所以sin＝－，即h(α)＝－.
10．在①函数f(x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5，②函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝－1，③函数f(x)的一个对称中心的横坐标为这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线处，并解决问题．
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，且________，点A(2，2)在该函数的图象上，求函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选①，设函数f(x)的最小正周期为T，
则 ＝5，得T＝6＝，则ω＝，
因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin＝2，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
则φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以函数f(x)＝2sin，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．
若选②，则sin(－ω＋φ)＝±1，得－ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z，
因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，
则φ＝＋，k1，k2∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝－，ω＝＋k2π，k2∈Z，
又0＜ω＜，所以ω＝，
所以函数f(x)＝2sin，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．
若选③，则2sin＝0，得ω＋φ＝k1π，k1∈Z，
因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，
则φ＝－＋，k1，k2∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝－，ω＝＋k2π，k2∈Z，
又0＜ω＜，所以ω＝，
所以函数f(x)＝2sin，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．
[B级　综合练]
11．(多选)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则下列说法正确的是(　　)
A．A＝2
B．f(x)的最小正周期为6
C．φ＝
D.是f(x)图象的一个对称中心
解析：选ABD.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知A＝2，A正确；|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan ＝＝＝，所以|BD|＝3，|BC|＝6，f(x)的最小正周期为6，B正确；ω＝＝，×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝，C错误；由函数f(x)图象的对称性知，xF＝1＋＝，所以F是f(x)图象的一个对称中心，D正确．故选ABD.
12．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．
解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，
所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
所以ω＝8k＋(k∈Z)，
因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以－≤，即ω≤12，
令k＝0，得ω＝.
答案：
13.如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
解：(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t＞0)，
当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.
14．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1
＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.
因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．
当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)单调递减．
又f(0)＝f()，所以当f()>0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－ [C级　创新练]
15．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是(　　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
解析：选ABD.由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，又从点A(3，－3)出发，所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝－，故A正确；y＝6sin，当t∈[35，55]时，t－∈，则sin∈[－1，0]，y∈[－6，0]，点P到x轴的距离为|y|，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，所以函数y＝6sin在[10，25]上不单调，故C不正确；当t＝20时，t－＝，则y＝6sin ＝6，且x＝6cos ＝0，所以P(0，6)，则|PA|＝＝6，故D正确．综上，正确的是ABD.
16．如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．

解析：由题设并结合图形可知，
AB＝ ＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.
答案：